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1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高中数学函数学问点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样两点必需同时具备 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx 4lg xx的定义域是23（答：0， 22， 33， 4 ）函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；正切函数ytan xxR, 且xk, k 2余切函数ycot xxR,且xk, k反三角函数的定义域函数 y a
2、rcsinx的定义域是 1, 1，值域是，函数 yarccosx的定义域是 1, 1，值域是 0, ，函数y arctgx的定义域是 R，值域是. ，函数 y arcctgx的定义域是 R，值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时，先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴，再取他们的交集，就得到函数的定义域；3. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x的定义域是a， b ， ba0，就函数F xf xf x的定义域是 ；（答：a，a ）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总
3、结 - - - - - - - - - - - -复合函数定义域的求法：已知yf x 的定义域为m, n ，求 yf g x的定义域，可由mg xn 解出 x 的范畴，即为 yf g x的定义域；例如函数 yf x的定义域为1 ,22，就 flog 2x 的定义域为；分 析 ： 由 函 数 yf x的 定 义 域 为1 ,22可 知 ： 1x22 ； 所 以 yf log 2 x 中 有1l o g2 x2 ；2解： 依题意知：解之，得1logx2 222x4f log 2 x 的定义域为x |2x44、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数，其值域可通过观看得到；例 求函数 y=
4、 1 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数 y= x2 -2x+5 ，x-1 ， 2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的具体写出来，期望大家能够看懂精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -a. yb k+x 2型：直接用不等式性质b. ybxx2mxn型, 先化简，再用均值不等式例：
5、yx11x+1+x212xc. yx2mxnx2mxnx2mxn型 通常用判别式d.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉x2x1（ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y= 3 x5 x4 值域；65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域；我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性；x例 求函数 y= ee x1 ， y2sin1 ，11siny2sin1 的值域；1cosex11yyex0ex11yy2
6、sin1| sin| | 1y |1,1sin2y2sin12sin11cosyy1cos2siny cos1y4y2sinx1y,即sinx1y4y2又由 sinx1知1y14 y2解不等式，求出y，就是要求的答案精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容x5例求函数 y= 2log3x1 （2 x 10）的值域7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数，其题型特点是函数解析式
7、含有根式或三角函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用；例 求函数 y=x+x1 的值域；8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目如运用数形结合法，往往会更加简洁，一目了然，赏心悦目；22例：已知点 P（x.y ）在圆 x +y =1 上，1xy的取值范畴22y-2x的取值范畴解:1令yx2k, 就yk x2, 是一条过 -2,0的直线 .dRd为圆心到直线的距离 ,R为半径 22令y-2 xb,即y2xb0, 也是直线 d dR例求函数 y= x2+ x28的值域；解：原函数可化简得： y=x-2
8、+x+8上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A（2），B（ -8 ）间的距离之和；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -由上图可知：当点P 在线段 AB上时，y= x-2 + x+8 = AB=10当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时， y= x-2 +x+8 AB=10故所求函数的值域为： 10 ， +）例求函数 y=2x6 x13 +22x4x5 的值域2解：原函数可变形为： y= x302 +x22201上式可看成 x
9、轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2），B（ -2 ，-1 ）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x轴的交点时，ymin = AB2=32221=43 ，故所求函数的值域为 43 ， +）；注：求两距离之和时，要将函数9、不等式法利用基本不等式a+b 2ab ，a+b+c3 3abc （a，b，c R ），求函数的最值，其题型特点解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；x 22 x0x例：=x2113 3 x 2113xxxx应用公式a+b+c3 3 abc 时，留意使3者的乘积变成常数）精选名师 优秀名师 - - - - - -
10、 - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -x 23-2x0x1.5=xx 3-2x xx+3-2x313应用公式abc10. 倒数法 abc 3时，应留意使3者之和变成常数） 3有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发觉另一番境况例求函数 y=xx2 的值域3yx2x3x20时，1x21x2120y1yx2x22x20时， y=00y12多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，第一要认真、认真观看其题型特点，然后再挑选 恰当的方法， 一般优先考虑直接法， 函数单调
11、性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法；5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特殊是做大题时，肯定要留意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如： fx1e xx，求f x .令tx1，就t0 xt 21精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - - f t f xet122ex1t 21x 21x06. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换
