第一章 矩阵一.矩阵的概念与运算二.矩阵的行列式三.矩阵的分块与可逆矩阵四.矩阵的初等变换五.矩阵的秩与应用第一页，编辑于星期五：十七点 三十三分一. 矩阵的概念与运算(一) 历史点滴:v “矩阵”一词由英国数学家 J.Sylvester(18141897) 约于1850年首先使用v1855年英国数学家 A.Cayley (1821-1895)创立矩阵的记号(括弧), 并于1885年发表了.在该文中他定义了矩阵的基本运算,并获得矩阵的“零化定理”v“矩阵”的英文(matrix)来自拉丁文的“母亲”(mater)v矩阵产生的背景源于坐标(变量的)变换v矩阵是线性代数的一个重要的数学工具,广泛应用于自然科学与社会科学的许多领域第二页，编辑于星期五：十七点 三十三分 (二二). ). 矩阵的概念矩阵的概念 定义:v 数域-可进行加、减、乘、除运算的数的集合v 矩阵-由mn个数排成的m行n列的数表v 对角矩阵- 除主对角线以外的元全为零的矩阵v 数量矩阵-主对角线上的元都相同的对角矩阵v 单位矩阵-主对角线上的元都是1的数量矩阵,记为E.v 上(下)三角形矩阵- 主对角线左下 (右上方)的元全为零的矩阵v (反)对称矩阵-元素关于主对角线是(反)对称的矩阵第三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
三) 矩阵的运算 1.定义:v加法A+B: A,B同型,对应元素相加v减法A-B: A,B同型,对应元素相减v数乘aA: A均任意,a乘以A的每个元素v乘法AB: A的列数等于B的行数, AB的第i行第j列元素是A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和v转置A: 将A的行与列互换第四页，编辑于星期五：十七点 三十三分2. 2. 算律算律v矩阵的加法满足: (1) A+B=B+A (2) (A+B)+C= A+(B+C) (3) A+0 = A (4) A+(-A) = 0v矩阵的数乘满足: (1) a(A+B)=aA+aB (2) (a+b)A =aA+bA (3) a(bA)= (ab)A第五页，编辑于星期五：十七点 三十三分2. 算律v矩阵的乘法满足: (1) (AB)C = A(BC) (2) A(B+C) = AB+AC (3) (B+C)A = BA+CA (4) k(AB) = (kA)B = A(kB)但不满足交换律、消去律和异底指幂律v矩阵的转置满足: (1) (A) =A (2) (A+B) = A+B (3) (aA) = aA (4) (AB) = BA第六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
注记注记 矩阵乘法有点怪，左阵列数右阵行，矩阵乘法有点怪，左阵列数右阵行， i i 行行 j j 列积后和；列积后和； 可结合而不交换，可结合而不交换， 可分配而不消去，异底指幂不成立可分配而不消去，异底指幂不成立 第七页，编辑于星期五：十七点 三十三分二二. . 行列式行列式(一) 历史点滴:v行列式来源于线性方程组的求解v1683年,日本数学家关孝和(Seki Takazu,1642-1768) 在其专专著中提出了行列式的概念与算法v1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704-1752) 提出了线性方程组的行列式解法 “克拉默法则则”v1772年,法国数学家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735 -1851)首先将行列式理论系统化,被誉为行列式理论的奠基人v现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(A.Cayley, 1821-1895)于1841年引进的第八页，编辑于星期五：十七点 三十三分二二. . 行列式行列式(二)概念(1)行列式的(递归法)定义: detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + +ainAin,v 余子式v代数余子式 (2)行列式的(代数法)定义: detA = (-1) a1k1a2k2ankn 其中 a是n级排列 k1k2kn 的逆序数, 表示对所有n级排列求和vn级排列v逆序数 第九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
二二. . 行列式行列式(三) 性质：设A为n阶矩阵,v若B为A的转置矩阵, 则 |B| = |A|v若交换A的某两行(列)得到矩阵C,则 |C|= -|A| 特例：若A的某两行(列)相同,则 |A|=0v若用数k乘A的某一行(列)得到矩阵D,则 |D|=k|A| 特例：若A的某一行(列)的元全为0,则 |A|=0 特例：若A的某两行(列)的元成比例,则 |A|=0v若A的第i行(列)的元均可写成两个元的和,则 |A|=|B|+|C|, 其中 B,C 与A 的(除第i行外)各行均相同.v若H是将A的第i行(列)的k倍加到第j行(列)上所得的矩阵,则 |H| = |A|.第十页，编辑于星期五：十七点 三十三分二二. . 行列式行列式(四) 定理： (1) 设A为n阶矩阵，则vA的第i行元与其第s行(ik)对应元的代数余子式的乘积之和等于零;vA的第j列元与其第t列(jt)对应元的代数余子式的乘积之和等于零. (2)设A,B均为n阶矩阵，则 |AB| = |A|B|. 第十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分二二. . 行列式行列式vLaplace(拉普拉斯)定理: 设A=(aij)为n阶矩阵,在A中任意取定k行(1kn),则由这k行元组成的所有k阶子式Mi与其代数余子式Bi (i=1,2,t)的乘积之和等于 |A|, 其中 t=n(n-1)(n-2)(n-k+1)/k! .第十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
二二. . 行列式行列式(五) 行列式的计算方法：v定义法v性质法v消元法(降阶法)v子式法(拉氏法)v递归法v公式法v升阶法v赋值法v乘积法v微积分法第十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分三三. . 矩阵的分块与可逆矩阵矩阵的分块与可逆矩阵(一)矩阵的分块v意义：矩阵的分块是进行矩阵分析与计算 的一种技巧v操作：根据研究问题的实际背景或需要v运算：与数字矩阵的运算规则类似 (1)加法: A与B同型,且其行和列的分法一致 (2)数乘: A可任意分块, kA=(kAij)st (3)乘法: A的列数等于B的行数,且A的列的分法 与B的行的分法一致, AB 才有意义 (4)转置: 行列互换后的各子矩阵都应再转置第十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分三三. . 矩阵的分块与可逆矩阵矩阵的分块与可逆矩阵(二) 可逆矩阵(非奇异/非退化/满秩矩阵)v定义: 存在矩阵B,使得 AB=BA=En.v范例: 非零的数量矩阵是可逆矩阵v性质: (1) 可逆矩阵与其逆矩阵均为方阵 (2) 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的 (3) 可逆矩阵的行列式不等于零第十五页，编辑于星期五：十七点 三十三分三三. . 矩阵的分块与可逆矩阵矩阵的分块与可逆矩阵(二) 可逆矩阵(非奇异/非退化/满秩矩阵)vn阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 |A|0 此时, A = |A| A*,其中 A*是A的伴随矩阵;v设n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则 (1) A的逆矩阵A 是可逆矩阵,且(A ) =A ; (2) A的转置矩阵、伴随矩阵均为可逆矩阵; (3) (kA) = k A ,若k0 ; (4) (AB) = B A .第十六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
四四. . 矩阵的初等变换矩阵的初等变换v矩阵的初等变换： (1)互换变换： 交换A的某两行(列) (2)倍法变换：用一个非零的数c乘以A的某一行(列)(3)消元变换: 将A的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上v初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵第十七页，编辑于星期五：十七点 三十三分四四. . 矩阵的初等变换矩阵的初等变换v初等变换与初等矩阵的关系 “行左列右” 设A是一个mn矩阵,则(1)对A进行一次行初等变换,相当于用一个相应的m阶初等矩阵左乘 A;(2)对A进行一次列初等变换,相当于用一个相应的n阶初等矩阵右乘 A.第十八页，编辑于星期五：十七点 三十三分四四. . 矩阵的初等变换矩阵的初等变换v初等矩阵的性质: (1)初等矩阵均为可逆矩阵,且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵 (2) 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵 (3) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 A 的等价标准形为E (4) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 A可以表示为有限个 初等矩阵的乘积 (5) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 A可以经有限次行(列) 初等变换化为单位矩阵 (6）对于任意mn矩阵A，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵 Q， 使得 PAQ = . 第十九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
五五. .矩阵的秩矩阵的秩v定义:若mn矩阵A有一个k阶子式不为零,且其所有的k+1阶子式全为零,则称A的秩为k.v性质： (1)对任意mn矩阵A,总有 r(A)= r(A )=r(aA)(a0) (2) 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩(3) 任意秩为r的mn矩阵A都可经有限次行初等变换化为r行非零的mn梯形矩阵D(4)任意秩为r的mn矩阵A都可经有限次初等变换化为 mn等价标准形矩阵(5) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 r(A)=n第二十页，编辑于星期五：十七点 三十三分六六. .矩阵的应用矩阵的应用v图论学 - 邻接矩阵/关联矩阵v气象学 - 转移(概率)矩阵v几何学 - 几何变换/曲面分类v计算数学 - (线性方程组/特征值与特征向量)迭代法/最小二乘法v经济学 - 投入产出分析/污染与工业发展v密码学 - Hill密码的加解密理论v生物学 - Leslie模型与矩阵的特征分析v运筹学 - 线性规划第二十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分矩阵矩阵第二十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分小结小结vn阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 (1)存在n阶矩阵B,使得 AB = E . 或者 (2)存在n阶矩阵C,使得 CA = E . 或者 (3)|A|0. 或 A的转置矩阵A 为可逆矩阵. 或 (4)|A*|0.或 A的伴随矩阵A*为可逆矩阵. 或 (5) 秩(A)= n . 或A等价于n阶单位矩阵. 或 (6) A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位 矩阵. 或 (7) A可表示为有限个初等矩阵的乘积. 第二十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
范例范例v任一 n阶矩阵A 均可表为一个 n阶对称矩阵B与一个 n阶反对称矩阵C 的和: A=B+C.v证明:若实数a,b,c,d不全为零,则行列式 0.v与所有n阶可逆矩阵可交换的n阶矩阵必为n阶数量矩阵.v设A,B与A+B 均为n阶可逆矩阵,证明:A +B 是可逆 矩阵,且 (A +B ) =A(A+B) B= B(A+B) A .v一个秩为r的矩阵总可以写成r个秩为1的矩阵之和.v设A = 是n阶矩阵,试求A的秩.第二十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。