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1、2006 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）x|1x3Dx|2x31（5 分）已知集合 M=x|x3，N=x|log2x1，则 MN=（）ABx|0x3C2（5 分）（2009石景山区一模）函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是（）DA2B4C3（5 分）=（）CiABDi4（5 分）如图，PA、PB、DE 分别与O 相切，若P=40，则DOE 等于（）度40B50AC70D805（5 分）已知 ABC 的顶点 B，C 在椭圆+y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则 ABC 的周长是（）A
2、B6C D126（5 分）已知函数 f（x）=lnx+1（x0），则 f（x）的反函数为（）Dy=ex1（x1）Ay=ex+1（xR）By=ex1（xR）Cy=ex+1（x1）7（5 分）如图，平面 平面 ，A，B，AB 与两平面 、 所成的角分别为和过 A、B 分别作两平 面交线的垂线，垂足为 A、B，则 AB：AB=（）A2：1B3：1C3：2D4：38（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 g（x）=log2x（x0）的图象关于原点对称，则 f（x）的表达式为（）ABCf（x）=log2x（xDf（x）=log2（0）x）（x0）9（5 分）已知双曲线 的一条渐近线方程为，则双曲线的离
3、心率为（）ABCD10（5 分）若 f（sinx）=2cos2x，则 f（cosx）等于（）A2sin2xB2+sin2xC2cos2xD2+cos2x11（5 分）设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若，则=（）ABCD12（5 分）函数 的最小值为（）A190B171C90D45二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13（4 分）（2012肇庆一模）在的展开式中常数项为 _（用数字作答）14（4 分）已知 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB=1，BC=4，则边BC 上的中线 AD 的长为 _15（4 分）（2012甘肃一模）过点 的直线 l 将圆（
4、x2）2+y2=4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k= _16（4 分）（2014江苏一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出 _人三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17（12 分）已知向量 ， （1） ，求 ；（2） 的最大值19（12 分）某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意出取
5、 2 件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品（1）用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求 的分布列及 的数学期望；（2）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率20（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=BC，D、E 分别为 BB1、AC1 的中点（I）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线；（II） ，求二面角 A1ADC1 的大小24（12 分）设函数 f（x）=（x+1）ln（x+1）若对所有的 x0，都有 f（x）ax 成立，求实数
6、a 的取值范围25（14 分）已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 过 A、B 两点 分别作抛物线的切线，设其交点为 M（）证 为定值；（）设 ABM 的面积为 S，写出 S=f（）的表达式，并求 S 的最小值27（12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2anxan=0 有一根为 Sn1，n=1，2，3，（1）求 a1，a2；（2）猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明2006 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）已知集合 M=x|x3，N=x|log2x1，则
7、 MN=（）ABx|0x3Cx|1x3Dx|2x3考点： 交集及其运算分析： 解出集合 N，结合数轴求交集 解答： 解：N=x|log2x1=x|x2， 用数轴表示可得答案 D故选 D点评： 考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易2（5 分）（2009石景山区一模）函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是（）A2B4CD考点： 三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦分析： 将函数化简为：y=Asin（x+）的形式即可得到答案解答： 解 所以最小正周期 ， 故选 D点评： 考查知识点有二倍角公式，最小正周期公式本题比较容易3（5 分）=（）ABCiDi考点： 复数代数形式的
8、混合运算分析： 化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可 解答：解：故选 A点评： 本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单4（5 分）如图，PA、PB、DE 分别与O 相切，若P=40，则DOE 等于（）度A40B50C70D80考点： 弦切角 专题： 证明题分析： 连接 OA、OB、OP，由切线的性质得AOB=140，再由切线长定理求得DOE 的度数 解答： 解：连接 OA、OB、OP，P=40，AOB=140，PA、PB、DE 分别与O 相切，AOD=POD，BOE=POE，DOE=AOB=140=70故选 C点评： 本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知
9、识，要熟练掌握5（5 分）（2014四川二模）已知 ABC 的顶点 B，C 在椭圆+y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是（）A B6C D12考点： 椭圆的简单性质 专题： 计算题；压轴题分析： 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得 ABC 的周长 解答： 解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得 ABC 的周长为 4a= ，所以选 C点评： 本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等Dy=ex1（x1）6（5 分）已知函数 f（x）=lnx+1（x0），则 f（x）的
10、反函数为（）Ay=ex+1（xR）By=ex1（xR）Cy=ex+1（x1）考点： 反函数分析： 本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域； 将 y=lnx+1 看做方程解出 x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可解答： 解：由 y=lnx+1 解得 x=ey1，即：y=ex1x0，yR所以函数 f（x）=lnx+1（x0）反函数为 y=ex1（xR） 故选 B点评： 由于是基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，所以容易解答；解答时注意函数 f（x）=lnx+1（x0） 值域的确定，这里利用对数函数的值域推得7（5 分）如图，平面 平面 ，A，B，AB 与
11、两平面 、 所成的角分别为和过 A、B 分别作两平 面交线的垂线，垂足为 A、B，则 AB：AB=（）A2：1B3：1C3：2D4：3考点： 平面与平面垂直的性质 专题： 计算题分析： 设 AB 的长度为 a 用 a 表示出 AB的长度，即可得到两线段的比值解答： 解：连接 AB和 AB，设 AB=a，可得 AB 与平面 所成的角， 在 Rt BAB中有 ，同理可得 AB 与平面 所成的角， 所以，因此在 Rt AAB中 ， 所以 AB：AB= ，故选 A点评： 本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系有一定的难度8（5 分）函数 y=f（x）的
12、图象与函数 g（x）=log2x（x0）的图象关于原点对称，则 f（x）的表达式为（）ABCf（x）=log2x（xDf（x）=log2（0）x）（x0）考点： 奇偶函数图象的对称性分析： 先设函数 f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（x，y）且函数 y=f（x）的图象与函数 g（x）=log2x（x0）的图象关于原点对称，得到 x 与 y 的关系式，即得答案解答： 解：设（x，y）在函数 f（x）的图象上（x，y）关于原点的对称点为（x，y），所以（x，y）在函数 g（x）上y=log2（x）f（x）=log2（x）（x0）故选 D点评：本题主要考查对称的性质和对数
13、的相关性质，比较简单，但是容易把与f（x）=log2（x）（x0）搞混，其实9（5 分）（2011普宁市模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）ABCD考点： 双曲线的简单性质 专题： 计算题分析： 由题设条件可知双曲线焦点在 x 轴，可得 a、b 的关系，进而由离心率的公式，计算可得答案 解答： 解：双曲线焦点在 x 轴，由渐近线方程可 ，故选 A点评： 本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，涉及 a，b，c 间的关系，比较简单10（5 分）（2004安徽）若 f（sinx）=2cos2x，则 f（cosx）等于（）A2sin2xB2+sin2xC2cos2xD2+cos2x考点： 二倍角的余弦 专题： 计算题分析： 本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中 f（sinx）=2cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配， 不难得到函数 f（x）的解析式，然后将 cosx 代入，并化简即可得到答案解答： 解：f（sinx）=2（12sin2x）=1+2sin2x，f（x）=1+2x2，（
