教材专用）质数，合数，分解质因数 数论(四) 质数、合数、分解质因数 【专题学问点概述】 一、质数与合数的概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数 3.质因数：假如一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三局部， 即，0和1，质数，合数2. 最小的质数是2，最小的合数是4 3. 常用的101以内的质数： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为 1，3，7，9 4. 局部特别数的分解：111?3?37 1011?7?11?13 11111?41?271 10101?73?13711015?3?5?7?19 11018?2?3?3?3?37 2007?3?3?223 2022?2?2?2?251 2007?2022?4015?5?11?73 10101?3?7?13?37 5.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式，并且分解的形式是唯一的。
【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中随意抽出一张、两张、三张，按随意依次排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以随意排出的三位数都不是质数随意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最终排出的质数有2、3、23、43这四个 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有〔3+1〕×〔2+1〕×〔1+1〕=24个因数 因数的和是：〔1+2+22+23〕×〔1+3+32〕×〔1+5〕=1170例4、筐里共有96个苹果，假如不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？解：每次拿的个数都是96的因数〔除96和1之外〕，这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。
精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数504=23×32×7=22×32×〔2×7〕，还少〔2×7〕，使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056 【竞赛班】例6、将以下八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由 14，33，35，30，75，39，143，169.解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个〔包括一样的〕，其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个一样的质因数应当平均分摊在两个乘积里，因此可以分为： 〔1〕〔14，75，33，169〕和〔30，35，39，143〕 或〔2〕〔14，75，39，143〕和〔30，35，33，169〕. 【课后分层练习】 A组：入门级1、 有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少？解：6个奇质数的和是偶数，60减去偶数仍是偶数，所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2，即这7个数中最小的是2.2、假如“○”是一个质数，“□”是一个合数，以下第〔 4 〕项的值必须是一个质数。
〔1〕○ + □ 〔2〕○－□〔3〕○×□ 〔4〕○×□÷□ 3、210的因数有几个这些因数的和是多少？解：210=2×3×5×7，依据因数个数和及因数和定理有：210的因数有〔1+1〕×〔1+1〕×〔1+1〕×〔1+1〕=16个这些因数的和是1+2〕×〔1+3〕×〔1+5〕×〔1+7〕=576. 1、 用105个大小一样的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？解：105=3×5×7；105共有〔1+1〕×〔1+1〕×〔1+1〕=8个因数，所以共有不同8÷2=4〔种〕拼法2、 有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄的乘积是1620.这三个学生的年龄分别是几岁解：1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×15.他们的年龄分别是9岁、12岁、15岁 B组：进阶级1、 哥德巴赫猜测是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？解：个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71；其中168－11=157，168－31=137，168－41=127，168－61=107，都不是两位数，只有168－71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97. 2、甲、乙二人轮番在黑板上写下不超过10的自然数，规定制止在黑板上写已写过的数的因数。
最终不能写的人为失败者假如甲第一个写数，试问谁必须获胜？给出一种获胜的方法解：甲必胜甲先写6，这样除去6的因数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个数，甲心中把〔4，5〕，〔7，9〕，〔8，10〕分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一组中的另一个数，那么甲总可获胜3.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等，其次组各数的和是15，问每组的数各是多少？解：2，4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，由于两组的积相等，明显是4和6在一组，1、2、5、7只出 现一次，其和正好为15.这样3，4，6，8，9分成两组，即为3，4，6和8，9.因此三组数是：〔3，4，6〕；〔1，2，5，7〕；〔8，9〕4、1×2×3×?×40能否被90909整除？解：首先将90909分解质因数，得 90909=3×7×13×37因为33〔=27〕，7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除 C组：挑战级1、 学区举办团体操表演，有1430名学生参与，分成人数相等的假设干队，要求每队人数在101至200之间，共有几种分法？ 解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在101至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在101至200之间的因数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13从这四个质数中选假设干个，使其乘积在101到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人32、试求不大于50的全部因数个数为6的自然数解：因为这个数有六个因数，6=5+1=〔2+1〕×〔1+1〕，所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50所以满意题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，503、要使1×2×3×4×5×?×n的积得尾部仅有10个连续的零，n最小值是〔 〕；最大值是〔 〕解：这n个连续自然数分解质因数后至少必需共含有十个因数2和十个因数5.当n=45时，其中5的倍数有9个，一个倍数是25的，已经含有十个因数5.这样最小值是45，最大值是49. 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页。