第06讲多项式 第六讲:多项式 1 第六讲:多项式杨教师专论〔号码：2078159；号码：139652616101〕 初等数学的中心课题之一是探究代数方程和不等式,其求解证明最终转化为多项式问题;多项式理论本身有很多重要结论,是高等代数的根底;多项式与复数、组合、数论及等众多学科有亲密的关系;解决多项式问题综合性大、方法敏捷、技巧性强.多项式问题是自主招生考试必需重点关注的重要问题. Ⅰ.学问拓展 多项式的结论常与多项式的系数所在的集合相关,为了表达便利,我们约定:用Z[x],Q[x],R[x],C[x]分别表示整系数、有理系数、实系数、复系数的全部一元多项式的集合,用degf(x)表示多项式f(x)的次数. 1.带余除法:定理1(复系数):设f(x),g(x)是多项式,g(x)≠0,那么存在唯一多项式q(x)与r(x),使得f(x)=q(x)g(x)+ r(x),其中r(x)=0,或degr(x)0)次多项式恰有n个根,重根按重数计算; 定理2(复根成对定理):假设实系数多项式f(x)有一个虚根a+bi(a,b∈R,b≠0),那么它的共轭复数a-bi也是f(x)的根,并且a+bi和a-bi有一样重数; 推论1:假设多项式f(x)有多数个不同的根,那么f(x)为零多项式;假设两个次数不超过n的多项式在n+1个不同数上的值相等,那么这两个多项式恒等; 推论2:实系数多项式f(x)可惟一分解为一次因式与二次不行约因式的乘积(相差一个常数倍数);复系数多项式f(x)可惟一分解为一次因式的乘积(相差一个常数倍数); 6.整系数定理:定理1(有理根定理):假设整系数多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0有有理根 q|a0;q(p与q互质),那么p|an, p 推论1:设f(x)=anx+an-1x+…+a1x+a0是一个整系数多项式,假如它的奇数次项系数之和等于偶数次项系数之和,那么它必含有因子x+1;假如它的奇数次项系数之和等于偶数次项系数之和的相反数,那么它必含有因子x-1; 推论2:设f(x)=anx+an-1x+…+a1x+a0是一个整系数多项式,假设α是f(x)的有理根,那么整数); 定理2(艾森斯坦判别法)对于整系数多项式f(x)=anx+an-1x+…+a1x+a0,假如能找到一个素数p,使得p?|an,p|ai(i=0, nn-1nn-1nn-1f(1)f(?1)f(m),,都是整数(m是1??1??m?? 2 第六讲:多项式1,2,…,n-1),p?|a0,那么f(x)在有理数域上不行约(不能分解因式);2 7.韦达定理:定理1(韦达定理):假如f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的根分别为x1,x2,…,xn,且an≠0,那么有:x1+x2+…+xn= -aaan?1na,?xixj=n?2,?xixjxk=-n?3,…,x1x2…xn=(-1)0;韦达定理的逆命题也成立的;anananan1?i?j?n1?i?j?k?n 8.对称多项式:定义1(对称多项式):n元多项式f(x1,x2,…,xn)随意交换两个变量时均保持不变,那么称f(x1,x2,…,xn)为n元对称多项式; 定义2(初等对称多项式):形如σ1=x1+x2+…+xn,σ2=x1x2+x1x3+…+xn-1xn,…,σn=x1x2…xn的对称多项式称为n元初等对称多项式; 定理:每个n元对称多项式都可以唯一的表成关于初等对称多项式σ1,σ2,…,σn的多项式; 9.插值公式:(拉格朗日插值公式):设f(x)是一个次数不超过n的多项式,a1,a2,…,an+1是n+1个互不一样的复数,那么: f(x)≡(x?a2)(x?a3)?(x?an?1)(x?a1)(x?a3)?(x?an?1)(x?a1)(x?a2)?(x?an)f(a1)+f(a2)+…+f(an+1).(a1?a2)(a1?a3)?(a1?an?1)(a2?a1)(a2?a3)?(a2?an?1)(an?1?a1)(an?1?a2)?(an?1?an)(x?a2)(x?a3)?(x?an)(x?a1)(x?a3)?(x?an)++…(a1?a2)(a1?a3)?(a1?an)(a2?a1)(a2?a3)?(a2?an) 推论1:假设a1,a2,…,an是互不一样的复数,那么+(x?a1)(x?a2)?(x?an?1)≡1.(an?a1)(an?a2)?(an?an?1) Ⅱ.归类分析 1.除法与整除: [例1]:(2003年上海交通大学保送生数学试题)求证:[解析]: a3?2aa4?3a2?1为最简分式.[练习1]:1.①(2003年上海交通大学保送生考试试题)三次多项式f(x)满意f(3)=2f(1),且有两个相等的实根2,那么第三个根为 . ②(2000年上海市中学数学竞赛试题)确定a∈Z,且x-33x+20能被x-x+a整除,那么a的值为 . 2.①(11019年Enlos数学奥林匹克试题)求证:log11019x不能表示成与g(x)互质. ②(1977年第6届美国数学奥林匹克试题)求正整数对(m,n)所满意的条件,使得(1+x+x+…+x)能被(1+x+x+…+x)所整除. n2nmn2n62f(x)的形式,其中f(x)、g(x)为实系数多项式,且f(x)g(x) 2.因式分解:[例2]:(2006年复旦大学选拔生考试数学试题)以下各式能否在实数范围内分解因式？假设能,请作出分解;不能那么说明理由.①x+1;②x+x+1;③x+x+x+1;④x+x+x+x+1.232432[解析]: [练习2]:1.①(2004年复旦大学保送生考试试题)x+1=(x+2x+1)(x+ax-1),那么a= . ②(2022年第四届北方数学奥林匹克邀请赛试题)设n是正整数,整数a是方程x+3ax+2ax-2×3=0的根,求全部满意条件的n和a. 2.①(11013年澳门数学奥林匹克试题)设P(x)=x+ax+bx+cx+d,其中a,b,c,d为常数,P(1)=11013,P(2)=31016,P(3)=5979,43242n84242 第六讲:多项式 3 试计算1[P(11)+P(-7)]. 4432 ②(2000年爱尔兰数学奥林匹克试题)设P(x)=x+ax+bx+cx+d,其中a,b,c,d为常数,P(1)=2000,P(2)=4000,P(3)=6000,试计算P(9)+P(-5). 2.①(11014年上海市中学数学竞赛试题)设多项式P(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1,其中ai(i=1,2,…,n)是n个不同的整数,试证:P(x)不能分解为两个次数大于零的整系数多项式之积. ②(11019年爱沙尼亚数学奥林匹克试题)求证:x+x+…+x+x+1在整系数范围内不行约. 3.有理数根: 11018110172[例3]:(2022年复旦大学选拔生考试数学试题)设x1、x2、x3是方程x+x+2=0的三个根,那么行列式3x1x2x3x2x3x1x3x1=( ) x2(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2[解析]: [练习3]:1.(2007年全国中学数学联赛上海初赛试题)确定关于x的方程xsinθ?(sinθ+2)x+6x?4=0有三个正实根,求u=9sin2??4sin??3的最小值.(1?cos?)(2cos??6sin??3sin2??2)322.(11015年全国中学数学联赛试题)求一切实数p,使三次方程5x-5(p+1)x+(71p-1)x+1=66p的三个根均为自然数.32 4.韦达定理: [例4]:(2022年复旦大学保送生考试试题)设三次方程x3+px+q=0的3个根互异,且可成等比数列,那么它们的公比是 . (A)-1?213i (B)?2211333i (C)?i (D)-?i22222[解析]: [练习4]:1.①(2005年上海交通大学保送生考试试题)x+ax+bx+c=0的三个根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数,求 a,b,c的值.x1332x2x1x3x1=( )x2 ②(2022年复旦大学选拔生考试数学试题)设x1、x2、x3是方程x+x+2=0的三个根,那么行列式x2x3x33232(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)22.①(11016年AIME数学奥林匹克试题)假设x+3x+4x-11=0的根是a,b,c,x+rx+sx+t=0的根是a+b,b+c,c+a,求t.436432 ②(1977年第6届美国数学奥林匹克试题)假如a和b是方程x+x-1=0的两个根,求证:ab是x+x+x-x-1=0的一个根. 5.对称多项式: [例5]:(2022年复旦大学选拔生考试数学试题)设x1、x2、x3是方程x+x+2=0的三个根,那么行列式3x1x2x3x2x3x1x3x1=( ) x2(A)-4 (B)-1 (C)0 (D)2[解析]: [练习5]:1.①(2022年复旦大学保送生考试试题)设a,b∈(-∞,+∞),b≠0,α、β、γ是三次方程x+ax+b=0的3个根,那么总以3 4 第六讲:多项式 111111+、+、+为根的三次方程是( )??????(A)ax+2abx+bx-a=0 (B)bx+2abx+ax-b=0 (C)ax+2abx+bx-a=0 (D)bx+2abx+ax-b=0 ②(11016年第28届加拿大数学奥林匹克试题)假设α、β、γ是多项式x-x-1的三个根,计算S=2222323222322232223221??1??1??++的值. 1??1??1??nnn2.(11018年波兰数学奥林匹克试题)记P(x,y)=xy。