第12章 随机过程及其统计描述12.3 泊松过程及维纳过程简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注第三节泊松过程及维纳过程一、独立增量过程 二、泊松过程的数学模型 三、维纳过程的数学模型 四、小结简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注一、独立增量过程 给定二阶矩过程 给定二阶矩过程 ( X ( t ), t ≥ 0} , 称随机变量 X ( t ) X ( s ) , 0 ≤ s < t 为随机过程在区间 ( s , t ] 上的 增量 .假如对随意选定的 正整数 n 和随意选定的 假如对随意选定的 0 ≤ t0 < t1 < t 2 < L < t n , n 个增量 X ( t1 ) X ( t 0 ), X ( t 2 ) X ( t1 ),L, X ( t n ) X ( t n 1 ) 相互独立 , 那么称 { X ( t ), t ≥ 0} 为独立增量过程.特征: 在互不重叠的区间上, 特征: 在互不重叠的区间上,状态的增量是相 互独立的. 互独立的.简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注在 X (0) = 0 的条件下 , 独立增量过程的有限维分布函数族可以由增 量 X ( t ) X ( s ) (0 ≤ s < t )的分布确定 . 假如对随意的实数 假如对随意的实数 h 和 0 ≤ s + h < t + h ,X ( t + h) X ( s + h) 和 X ( t ) X ( s ) 具有一样的分布 ,那么称增量具有平稳性. 那么称增量具有平稳性. 增量具有平稳性 假如增量具有平稳性, 假如增量具有平稳性 那么增量 X(t)-X(s) 的分 本身. 布函数只依靠于时间差 t-s, 而不依靠于 t 和 s 本身 当增量具有平稳性时, 当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程 齐次的或时齐的. 是齐次的或时齐的.简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注独立增量过程的协方差 函数 C x ( s , t ).设 X ( 0) = 0 , 方差函数 DX ( t ) 确定 . 记 Y (t ) = X (t ) µ X (t ) . 当 X ( t ) 具有独立增量时 , Y (t ) 也具有独立增 Y (0) = 0, E[Y ( t )] = 0, DY ( t ) = E[Y 2 ( t )] = DX (t ). 量;因此 , 当 0 ≤ s < t 时 , 有 C X ( s , t ) = E[Y ( s )Y ( t )] = E {[Y ( s ) Y (0)][(Y ( t ) Y ( s )) + Y ( s )]} = E {[Y ( s ) Y (0)][(Y ( t ) Y ( s )) + Y ( s )]} = E[Y ( s ) Y (0)]E[Y ( t ) Y ( s )] + E[Y 2 ( s )]简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注= DX (s ). 因此 因此 , 对随意 s , t ≥ 0, 协方差函数可用方差函 数表示为CX (s, t ) =DX (m s, t )). in(简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注二、泊松过程的数学模型1.问题的提出 问题的提出考虑以下随时间的推移迟早会重复出现的事务： 考虑以下随时间的推移迟早会重复出现的事务： (1)自电子管阴极放射的电子到达阳极; (1)自电子管阴极放射的电子到达阳极; 自电子管阴极放射的电子到达阳极 (2)意外事故或意外过失的发生; (2)意外事故或意外过失的发生; 意外事故或意外过失的发生 (3)要求效劳的顾客到达效劳站. (3)要求效劳的顾客到达效劳站. 要求效劳的顾客到达效劳站简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注2.问题的分析与求解 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点, 将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到 达阳极、 达阳极、顾客到达效劳站等事务的发生相当于质 点出现.因此探究的对象可以认为是随时间推移, 点出现.因此探究的对象可以认为是随时间推移, 随时间推移 接连地出此时此刻时间轴上的很多质点所构成的随机 的质点流. 的质点流. 用 用 N ( t ), t ≥ 0表示在时间间隔 (0, t ]内时间轴上 出现的质点数 . {N ( t ), t ≥ 0}是一个状态取非负整数 、时间连称为计数过程 续的随机过程 , 称为计数过程. 计数过程简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注计数过程的一个典型样本函数简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注 记 记 N ( t0 , t ) = N ( t ) N ( t 0 ) , 0 ≤ t0 < t , 表示在时 间间隔 ( t0 , t ]内出现的质点数 .随机事务 { N ( t 0 , t ) = k } 的概率为 Pk ( t0 , t ) = P { N ( t0 , t ) = k }, k = 0, 1, 2,L.对N(t )的假设 (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性. (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性. 在不相重叠的区间上的增量具有独立性( 2) 对于充分小的 t , P1 ( t , t + t ) = P { N ( t , t + t ) = 1} = λ t + o( t ),常数 λ > 0 称为过程 N ( t ) 的强度 .简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注( 3)对于充分小的 t ,∑ Pj (t , t + t ) = ∑ P{ N (t , t + t ) = j } = o( t ) j=2 j=2( 4 ) N ( 0 ) = 0.∞∞ 满意条件(1)(2)(3)(4)的计数过程 { N ( t ), t ≥ 0}称作 满意条件 λ 强度为 的泊松过程.称作 强度为 的泊松流. λ泊松资料 相应的质点流或质 相应的质点流或质 点出现的随机时刻 t1 , t 2 ,L 简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注增量的分布律由于 ∑ Pk ( t0 , t ) = 1 , 所以依据假设有 P0 ( t , t + t ) = 1 P1 ( t , t + t ) ∑ Pk ( t , t + t ) = 1 λ t + o( t ).概率的计算k =2 k =0 ∞∞当 t > 0时 , 先计算 P0 ( t 0 , t ) . P0 ( t0 , t + t ) = P { N ( t0 , t + t ) = 0} = P { N ( t 0 , t ) + N ( t , t + t ) = 0} =P { N ( t0 , t ) = 0, N ( t , t + t ) = 0},本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页。