浅谈柯西不等式 论文题目：姓 名：单 位：浅谈柯西不等式 李新平 浙江省第五中学 浅谈柯西不等式 概要：柯西-许瓦尔兹〔Cauchy-Schwarz〕不等式在初等数学中，应用特别地广泛,与中学的向量联系也特别亲密 关键词：柯西不等式、极值、建模一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹〔Cauchy-Schwarz〕不等式关于柯西-许瓦尔兹〔Cauchy-Schwarz〕不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的学问来证明它，证明过程特别地简洁、明白 柯西-许瓦尔兹〔Cauchy-Schwarz〕不等式的一般形式为 对随意的实数a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当aa1a2??...?n时成立 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n那么?的方差 D??E?2??E??,即 2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?i?1?i?1?2n2由此可知?n?222E???aipi???aipi???E??i?1?i?1?且上式等号成立当且仅当a1?a2...?an。
n证明：假设b1,b2,...bn都是零，那么等式成 立假设b1,b2,...bn不全是零，不妨设首先证明2b1,b2,...bk不是零，而bk?1?bk?2...?bn?0?k??k2??k2???aibi????ai???bi? 〔1〕 ?i?1??i?1??i?1?1????k2?????b2???2?ik?bj???k??i?1??2即???aj..n????aibji?1?j?1?bi2???????i?1????????2现设随机变量?的概率分布为1?k2??2???bi?? p???aj.?i?1?bj??????b2j,j?1,2,.k.. ..??k?bi2??i?1?k??2b2?ibj?k2k?22i?1???ai 那么E????aj.2.kbj2?j?1?i?1b?i??i?1??1?k2?2????bi?2k?bj?.E????aj.?i?1kbjj?1?bi2??i?1???????? 且等号成立当且仅当aa1a2??...?n=l.进而 b1b2bn?n??k???aibi????aibi??i?1??i?1??k??k? ???ai???bi??i?1??i?1??n2??n2????ai???bi??i?1??i?1?其中等号当且仅当aa1a2??...?n=l时成立，a1?a2...?an=0。
即b1b2bn22b1,b2,...bn不全是零,等号成立的充要条件是ai?lbi,i?1,2,...,n 二、柯西不等式在数学建模中的应用 有些数学建模的题目看似繁琐，假如用柯西不等式解决问题，将到达事半功倍的效果 例1 甲、乙二人到同一个百货公司买同一种货物在不同的 tn,，单价分别是p1,p2,...,pn元甲购物的方式是：每n个时刻t1,t2,...一次买同样的数量x，一、乙购物的方式是：每一次只买p元钱的东西证明：除非价格稳定，即p1?p2?...?pn，乙购物的方式比甲购物的方式合算 证明：所谓“合算”，明显是指乙购物的平均价格比甲购物的平均价格要低 在n次购物中，甲花去p1x?p2x?...?pnx元，总共买到了数量为nx的东西，因此平均价格为： ?i?1npixp1?p2?...?pn? nxn在n 次购物中，乙总共花去np元，买到了数量平均价格为npn? n111p?????p1p2pni?1pi?i?1np的东西因此pi设p1,p2,...,pn不全相等，故由调和平均-算术平均不等式〔柯西不等式的简洁变形〕，得 n111???p1p2pn?p1?p2??pnn这就证完了所需的结论。
例2 如图，有一个码头A，想把货物运到对岸的某处B确定水运与陆运的价格分别是p1,p2元，?1,?2是?OAQ,?CBQ，且 Asi?n1p?1运输河的宽度AO=a,B到si?n1p2QOPCBl岸的距离BC=b,OC=c,OQ=d试求货物从A运到B的最小运价 解：在OC上任取一点P，记OP=x?0?x?c?，于是sin?1?dd2?a2,sin?2?c?d?c?d?2?b2A经过P到B点所需的时间T为T?x2?a2?p1?c?x?2?b2p2由柯西不等式，得 当且仅当xac?xb?,? si?nco?1ssi?nco?s122x2?a2?x2?a2?si2n?1?co2?s2?xsi?n?1s 1?aco???c?x?2?b2??c?x?2?b2???c?x?si?n2?bco?s2si2n?2?co2?s2同时成立时上述两式中的等号同时成立于是将x?atg?1,c?x?btg?2代入，得T?ab?p1cos?1p2cos?2但sin?1?dd?a22,sin?2?c?d?c?d?2?b2? T?d2?a2?p1?c?d?2?b2p2当且仅当xac?xb?,?成立时取等号。
即当x?d时，Tsin?1co?s1sin?2co?s2取最小值minT?d2?a2?p1?c?d?2?b2p2由此可见A码头运货经过Q到达B所需的运费最小 三、柯西不等式在几何中应用 在初等几何当中，求极值是一个相当难的问题用一般的方法，都显得很麻烦，用柯西不等式就显得特别地简洁 x2y2例3 试求出椭圆2?2?1夹在两条坐标轴之间的切线的ab线段的最小值解：如图设M?x0,y0?是椭圆上的点，那么过M?x0,y0?的切线MT的方程为xx0yy0?2?1MT分别交x轴、a2b2?a??b??、Q?0,? ,0y轴于P??y??x?0???0?2 yQM?a ? PQ???x?0 =2??b??????y?? ??0?222OPxa2b2?2?2x0y0a2b2?a?b?222x0y0?22ab = ?a?b?21 =a?b a3b3等号当且仅当2?2于是PQmin?a?bx0y0例4 过确定点M?x0,y0?作不经过原点的直线l分别交x,y轴于P,Q.试求PQmi和此时l的方程〔如图〕 n解：不失一般性，可只考虑M在第一象限内，设OP=a,OQ=b, 那么l的方程为xy??1；又M?x0,y0??l，故 ab2 lyQMOPxx0y0??1 ab因PQ?a2?b2不能干脆应用不等式，但在此仅x0,y0是常数。
故PQmin定与x0,y0有关因此，原命题等价2??2??22mm??于求出??x0?y0??a?b??,?m?0?因此有???min???2211?m???22m?mm????x?ya?b?xa?yb ?0?0?0?0? ????2m?1?m?1?mx0y0m? ??y0?x0?2b2?a?1m?1?m???x02m?y02m?????? ??2??x0y0??????b??a24?1m?1?m??x02m?y02m?m?14???m?1???x2m?y2m?? ==?002?1??ab等于上式前一个等号，当且仅当1?1成立；后一个等号，当4x0m且仅当m?12m0m?12m0y0mxyab?,即m?1?m?1时成立要使上式的右边是左边的x0y0x02my02mab1m?1?最小值，当且仅当前、后两个等号同时成立方可由此得，m2m即m?3所以2??2? ??x03?y03?a2?b2????????2??2?33?????x0?y0?， ???min?4本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页。