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1、刚体转动练习答案 第2章 刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(A，)4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题(1). v 15.2 m /s，n2500 rev /min (2). 62.5 1.67 (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 Nm (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kgm2 (7).1Ma 2l11(8). ?mgl参考解：M?dM?gm/l?rdr?mgl022(9).6v0?4?3M/m?l(10). 2E0三、计算题A1. 如下图，半径为r10.3 m的A轮通过皮带被半径为r20.75
2、m r1的B轮带动，B轮以匀角加速度? rad /s2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生试求A轮到达转速3000 rev/min所须要的时间解：设A、B轮的角加速度分别为?A和?B，由于两轮边缘的切向加速度一样， at = ?A r1 = ?B r2那么 ?A = ?B r2 / r1 A轮角速度到达?所需时间为 t?B r2?r1?3000?2?/60?0.3s40 s ?A?Br2?0.75 2.一砂轮直径为1 m质量为50 kg，以 900 rev / min的转速转动撤去动力后，一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s内停顿求砂轮和工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可
3、忽视不计，砂轮绕轴的转动惯量为1mR2，其中m和R分别为砂轮的质量和半2径).解：R = 0.5 m，?0 = 900 rev/min = 30? rad/s，依据转动定律 M = -J? 这里 M = -?NR ?为摩擦系数，N为正压力，J?1mR2 2 设在时刻t砂轮起先停转，那么有： 1 ?t?0?t?0从而得 ?0 / t 将、式代入式，得 ?NR?1mR2(?0/t) 2 ?mR?0 / (2Nt)0.53. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，假设平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0起先旋转，它将在旋转几圈后停顿？确定圆形平板的转动惯量J?1
4、mR2，其中m为圆形平板的质量 2解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为mg?2?r?rdr ?R2R2总摩擦力矩 M?dM?mgR03 dM?故平板角加速度 ? =M /J设停顿前转数为n，那么转角 ? = 2?n 由2J?02?3R?0/16?g 可得 n?4?M2?0?2?4?Mn/J 4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即Mk? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间解：依据转动定律： ? ? Jd? / dt = -k? 两边积分： 12 r Okdt?J?0/21tk?0?d?0Jdt?d?m 得
5、ln2 = kt / J t(J ln2) / k5.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如下图轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，那么依据牛顿运动定律和转动定律得： mg-Tma T rJ? 2由运动学关系有： a = r? 由、式解得： Jm( ga) r2 / a 又依据确定条件 v00 ?12at， a2S / t2 222gt将式代入式得：Jmr(1) 2S S r T a T mg 6.如下图，
6、设两重物的质量分别为m1和m2，且m1m2，定滑轮的半径为r， 对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计设起先时 r 系统静止，试求t时刻滑轮的角速度 m2 m 1解：作示力图两重物加速度大小a一样，方向如图. m1gT1m1a T2m2gm2a 设滑轮的角加速度为?，那么 (T1T2)rJ? 且有 ar? ?由以上四式消去T1，T2得： rT2T1?m1?m2?grT2 ? T1 a?m1?m2?r2?J a起先时系统静止，故t时刻滑轮的角速度 m2gm1g?m1?m2?grt ? t? 2 ?m1?m2?r?J7.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定
7、光滑轴O转动棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转m, l O m? v12动惯量为J = ml初始时棒静止今有一水平运动的子弹垂直地3射入棒的另一端，并留在棒中，如下图子弹的质量为m?= 0.020 kg，速率为v = 400 ms-1试问： (1) 棒起先和子弹一起转动时角速度?有多大？ (2) 假设棒转动时受到大小为Mr = 4.0 Nm的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度?？ 解：(1) 角动量守恒： m?vl?ml?m?l? ?15.4 rads-1 ?1?3m?v22?1?m?m?l?3?122 (2) 由转动定律，得： Mr(mlm?l)?3 0?22
8、? 3 ?1?22?m?m?l?3? ?15.4 rad2Mr8.如下图，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J10 kgm2 和 J20 kgm2起先时，A轮转速为600 rev/min，B轮静AB止C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽视不计A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到C加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速n； ?A (2) 两轮各自所受的冲量矩 解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒JA?AJB?B = (JAJB)?，又?B0得： ? JA?A / (JA
9、JB) = 20.9 rad / s 转速 n?200 rev/min (2) A轮受的冲量矩负号表示与?A方向相反 B轮受的冲量矩方向与?A一样 9.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰 ?M?MAdt= JA(JAJB) = ?4.1910 2 Nms?Bdt= JB(? - 0) = 4.19102 Nms121L L L v0 O 1撞碰撞点位于棒中心的一侧L处，如下图求棒在碰撞后的瞬2时绕O点转动的角速度?(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时2v0 12的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和
10、长度)3解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为?3L/20?v0xdx?L/20?v0xdx?v0L2?mv0L212式中?为杆的线密度碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为1?3?3?1?1? J?m?L?m?L?3?4?2?4?2?因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?22?73?mL?12?1mv0L 2 ? = 6v0 / (7L) 4 10. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为?0质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径rR.)解：选小球和环为系统运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒对地球、小球和环系统机械能守恒取过环心的水平面为势能零点 小球到B点时： J0?0(J0mR2)? ?0ABRC11122J0?0?mgR?J0?2?m?2R2?vB 222?式中vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度由式得： ?J0?0 / (J0 + mR2)
