《2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)2022年全国中学数学联合竞赛一试B 卷一、填空题：本大题共8个小题,每题8分,共64分.1.在等比数列n a中，2a =，3a =1202273017a a a a +的值为 . 2.设复数z 满意91022z z i +=+，那么|z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，假设2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，那么(1)f 的值为 .4.在ABC ?中，假设sin 2sin A C =，且三条边,a b c 成等比数列，那么cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC
2、上，满意3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，那么DEF ?的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(,)|,1,0,1K x y x y =-，在K 中随机取出三个点，那么这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a +=的焦距为4，那么a 的值为 .8.假设正整数,a b c 满意2022101011010a b c ，那么数组(,)a b c 的个数为 . 二、解答题 本大题共3小题，共56分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.设不等式|2|52|x x a -<-对全部1,
3、2x 成立，求实数a 的取值范围. 10.设数列n a 是等差数列，数列n b 满意212n n n n b a a a +=-，1,2,n = .1证明：数列n b 也是等差数列；2设数列n a 、n b 的公差均是0d ，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1|a 的最小值. 11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求|PQ PR ?的取值范围. 2022年全国中学数学联合竞赛加试B 卷一、此题总分值40分设实数,a b
4、c 满意0a b c +=，令max,d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +- 二、此题总分值40分给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,a b c d 可以一样，满意ab cd m -=. 三、此题总分值50分如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆上弧BC 的中点，直线DA 与圆过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、此题总分值50分设122
5、0,1,2,5a a a ，1220,1,2,10b b b ，集合(,)120,()()0i j i j X i j i j a a b b =<-<，求X 的元素个数的最大值. 一试试卷答案1.答案：89解：数列n a的公比为32a q a =，故120221202266730171202218()9a a a a a a q a a q +=+. 2.解：设,z a bi a b R =+，由条件得(9)10(1022)a bi a b i +=+-+，比拟两边实虚部可得9101022a ab b +=?=-+?，解得：1,2a b =，故12z i =+，进而|z 3.答案
6、：74- 解：由条件知，2(1)1(1)(1)(1)1f f f +=-+-=-，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C =，又2b ac =，于是:a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-=-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF =，7AD AB AE BE =+=.由余弦定理得，DE=同理有DF =作等腰DEF ?底边EF 上的
7、高DH ，那么122EH EF =，故DH ，于是12DEF S EF DH ?= 6.答案：514解：留意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为31014C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种状况：1三点在一横线或一纵线上，有6种状况，2三点是边长为4416?=种状况，3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种状况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的状况数为616830+=，进而所求概率为3058414=. 7.解：二次曲线方程可写成2221x y a a
8、-=，明显必需0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2221()x a -=-，那么2222()c a a a =+-=-，留意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574解：由条件知202221010c =，当1c =时，有1020b ，对于每个这样的正整数b ，由10201b a 知，相应的a 的个数为20220b -，从而这样的正整数组的个数为2022(1022)11(20220)5732b b =+?-=， 当2c =时，由202220101b ，知，20b =，进而202220020220a =， 故200,201a =，此时共
9、有2组(,)abc .综上所述，满意条件的正整数组的个数为5732574+=.9.解：设2xt =，那么2,4t ，于是|5|t a t -<-对全部2,4t 成立，由于22|5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?-<，对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =-，那么()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，留意2,4t ，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a =-<?=-<?，解得35a << 所以实数a 的取值范围是35
10、a <<.10.解：1设等差数列n a 的公差为d ，那么22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a +-=-23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +=-+-212()n n n a d a a d +=-+ 221(2)3n n n a a a d d +=-= 所以数列n b 也是等差数列.2由确定条件及1的结果知：23d d =，因为0d ，故13d =，这样2212()(2)n n n n n n nb a a a a d a d a +=-=+- 22329n n da d a =+=+
11、假设正整数,s t 满意s t a b Z +，那么1122(1)(1)101s t s t a b a b a s d a t d +=+=+-+-+ 122239s t a Z +-=+. 记122239s t l a +-=+，那么l Z ，且1183(31)1a l s t =-+是一个非零的整数，故1|18|1a ，从而11|18a . 又当1118a =时，有1311711818a b Z +=+=， 综上所述，1|a 的最小值为118. 11.解：设2(,2)P t t ，那么直线l 的方程为22y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，222(4)(2)8x x t t
12、-+-=， 化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t -+-+=，由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程的判别式?为正，计算得， 222222222(24)2(2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t ?=-+-+=-+-222(2)8(2)t t t t =-+-22(2)(28)t t t t =-(2)(2)(4)t t t t =-+-， 因此有(2,0)(2,4)t - ，设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由知，21224x x t t +=-+，22121(2)8)2x x t t =-+， 因此，结合
13、l 的倾斜角为45 可知，2224121212|)22()2PQ PR x t x t x x t x x t -=-+22224(2)82(24)2t t t t t t =-+-+43243244482482t t t t t t t =-+-+-+4248t t =-+22(2)4t =-+，由可知，22(2,2)(2,14)t - ，故22(2)0,4)(4,196)t - ，从而由得： 22|(2)44,8)(8,200)PQ PR t =-+注1：利用2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2< 同样可以求得中t 的范围.注2：更简便的计算|PQ PR的方式是利用
14、圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =故22222242|(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+ . 加试试卷答案一、证明：当1d 时，不等式明显成立以下设01d <，不妨设,a b 不异号，即0ab ，那么有(1)(1)11110a b a b ab a b c d +=+=-> 因此222(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +-+=-=-二、证明：取1k m =+，令(mod 1),i A x x i m x N +=+，1,2,1i m =+ 设,i a b c d A ，那么0(mod 1)ab cd i i i i m -?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,a b c d ，满意ab cd m -= 三、证明：首先证明/YX BC ，即证AXAYXC YB =连接,BD
