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1、黑龙江省绥化市榆林第二实验中学高一数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A1升B升C升D升参考答案：B【考点】8F：等差数列的性质【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积【解答】解：设竹子自上而下各节的
2、容积分别为：a1，a2，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3，3a1+21d=4，43得：66d=7，解得d=，把d=代入得：a1=，则a5=+（51）=故选B2. 等差数列an的前n项和为Sn，若，则（ ）A. 27B. 36C. 45D. 54参考答案：B【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.3. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则此三角形的形状为（ ）.A. 直角三角形B. 等腰三角形C.
3、 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形参考答案：B【分析】根据正弦定理，将化为，再由两角和的正弦公式，化简整理，即可得出结果.【详解】因为，由正弦定理可得，即，所以，因此，故，所以，即此三角形为等腰三角形.故选B【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，熟记正弦定理即可，属于基础题型.4. 已知点A（2，1）和B（1，3），若直线3x2ya=0与线段AB相交，则a的取值范围是（）A4a9Ba4或a9C9a4Da9或a4参考答案：C【考点】两条直线的交点坐标【分析】根据直线截距的意义即可得出【解答】解：直线3x2ya=0经过A（2，1）时，a=3221=4；直线3x2ya=0经过B（1，3）时，a=
4、3（1）23=9直线3x2ya=0与线段AB相交，a的取值范围是9，4故选：C5. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120，点C在以O为圆心的劣弧AB上变动，若其中、则的最大值是 （ ）A.1 B 2 C3 D4参考答案：B6. 过点(1,0)且与直线垂直的直线方程是 A. B. C. D. 参考答案：A【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.【详解】设与直线垂直的直线为：代入可得：，解得：所求直线方程为：，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.7. 已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则
5、P的子集的个数共有()A2个 B4个 C6个 D8个参考答案：B8. 已知直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是 A.(0,1) B. C.(,1)(1,) D.(1,)参考答案：C结合图象,如右图, 其中=45-15=30,=45+15=60.需a(tan30,1)(1,tan60),即a(,1)(1,).9. 已知，则 （ ）A B C D 参考答案：A10. 数列的前n项和与通项公式满足关系式 ，则 ( ) A90 B180 C360D400 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 方程的解
6、集为M，方程的解集为N，且，那么_；参考答案：2112. _参考答案：-313. （理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算 参考答案：100014. 给出下列四个命题：函数的最小值为6；不等式的解集是；若； 若，则. 所有正确命题的序号是_ 参考答案：略15. 函数的值域为 参考答案：16. 函数f（x）=lg（2x1）的定义域为 参考答案：（0，+）【考点】对数函数的定义域；指数函数单调性的应用【专题】计算题【分析】
7、根据对数函数定义得2x10，求出解集即可【解答】解：f（x）=lg（2x1）根据对数函数定义得2x10，解得：x0故答案为：（0，+）【点评】考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围会求不等式的解集17. 正数a、b满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数m的取值范围_参考答案：【分析】由已知先求出，得对任意实数恒成立，又由在时，可得实数的取值范围.【详解】因为，所以，所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，又因为在时，所以，故填：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，关键在于对运用参变分离，与相应的函数的最值建立不等关系，属于中档题.三、 解答题：本大题共5小题，共72分
8、。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分8分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（0，3）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程。（2）求中线AM的长。（3）求点C关于直线AB对称点的坐标。参考答案：解：（1）由两点式得AB边所在的直线方程为：=即2xy3=02分（2）由中点坐标公式得M（1，1）3分|AM|=4分（3）设C点关于直线AB的对称点为C（x，y）则CCAB且线段CC的中点在直线AB上。即6分解之得x= y=即C点坐标为（，）8分19. (本小题满分10分)设数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式(2)设是数列的前项和，
9、求参考答案：解：依题意，故， 当时， 又 . 整理得：，故为等比数列， 且， 由知，. ，即是等差数列. . 20. 如图所示，南昌二中校徽中蕴含等腰梯形ABCD，若等腰梯形ABCD的上底长为2，下底长为4，高为1，直线垂直交梯形于两点，记，与梯形相交左侧部分面积为（1）试写出关于的函数关系式；（2）作出函数的草图参考答案：略21. 已知函数(I)判断函数的奇偶性，并加以证明；(II)用定义证明在上是减函数；(III)函数在上是否有最大值和最小值？如果有最大值或最小值，请求出最值参考答案：(I)函数为奇函数.证明：函数定义域为.所以函数为奇函数.(II) 函数在上是减函数.设且.因此函数在上是
10、减函数.(III)由(I)知函数是奇函数，由(II)知函数在上是减函数.所以函数在上也是减函数，所以在上有最大值，没有最小值.函数22. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形，且.(1)求证: ；(2)若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到，再次结合三角形全等，即可。（2）法一：建立坐标系，分别计算的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出的值，然后结合，即可。法二：设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD，结合，建立方程，计算x，结合，即可。【详解】（1）连结，交于点，连结，因为侧面是菱形，所以，又因为，所以平面，而平面，所以，因为，所以，而，所以，. （2）因为，所以，（法一）以为坐标原点，所以直线为轴，所以直线为轴，所以直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量，所以令，则，取，设平面的法向量，所以令，则，取，依题意得，解得. 所以. （法二）过作，连结，由（1）知，所以且，所以是二面角的平面角，依题意得，所以，设，则，又由，所以由，解得，所以.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了利用空间向量解决二面角问题，难度较难。
