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1、2022年北京昌平区下庄学校 高三数学文联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则a= A1 B-1 C1 D0参考答案：2. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（） 参考答案：D圆的标准方程为，圆心为,因为点弦的中点，所以,AP的斜率为，所以直线的斜率为2，所以弦所在直线方程为，即，选D.3. 若定义在R上的二次函数在区间0，2上是增函数，且，则实数的取值范围是 ( ）A B C D或参考答案：A4. 设f（x）是定义在R上的增函数，其导函数为f（x），且满足+x1，下面不等式正确的是( )Af
2、（x2）f（x1）B（x1）f（x）xf（x+1）Cf（x）x1Df（x）0参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】构造函数g（x）=（x1）f（x），得到g（x）在R上单调递减，根据g（1）=0，得到x1时：f（x）0，从而求出答案【解答】解：f（x）定义在R上的增函数，其导函数为f（x），f（x）0，+x1，（x1）f（x）+f（x）0，设g（x）=（x1）f（x），g（x）=（x1）f（x）+f（x）0，g（x）在R上单调递减，g（1）=0，当x1时：g（x）=（x1）f（x）g（1）=0，x1时：f（x）0，又f（x）是定义在R上
3、的增函数，当x1时：必有f（x）0，综上可知f（x）0，xR，故选：D【点评】本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=（x1）f（x），根据x1时得到f（x）0是解题的关键，本题是一道中档题5. 已知角的终边过点P（4k，3k） （k0），则2sin+cos的值是（）ABC或D随着k的取值不同其值不同参考答案：B【考点】终边相同的角；任意角的三角函数的定义【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可【解答】解：角的终边过点P（4k，3k），（k0），r=5|k|=5k，sin=
4、，cos=，2sin+cos=2（）+=故选B6. 集合，则（ ） A B. C . D .参考答案：C7. 过点（，0）引直线与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：【答案解析】B 解析：由，得x2+y2=1（y0）所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则-1k0，直线l的方程为y-0=k(x?)，即kx?y?k0则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为则SABO=令，则SABO，当t，即时，SABO有最大值为此时由，解得
5、k=故选B【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值8. 由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为( )ABCD2ln2参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用 【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得【解答】解：如图，面积故选D【点评】本题主要考查定积分求面积9. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，满足条件：与的夹角为，且tan=7，与与的夹角为45若（），则的值为 A3 B C D
6、 参考答案：B10. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=的最大值为2，则z的最小值为( )ABCD1参考答案：C考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出约束条件，从而得z1=，z2=，z3=；z4=；故最大值为=2，从而求得解答：解：作出约束条件，表示的可行域如右图的阴影部分所示，阴影部分四边形四顶点为（0，0），（1，0），（2，3），（0，1）；则z1=，z2=，z3=；z4=；由条件知m0，故=2，则m=6；故z的最小值为故选C点评：本题考查了简单线性规划的应用，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的展开式中的常数项
7、是_参考答案：16012. 已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_参考答案：【分析】先利用导数刻画时的图像，再画出当时的图像，考虑函数的图像（动直线）与图像有两个交点，从而得到实数的取值范围.【详解】当时，当时，当时，又当时，所以根据周期为1可得时的图像，故的图像如图所示：函数的图像恒过，因为与的图像有两个不同的交点，故，又，故，所以，填.【点睛】方程的解的个数可以转化为两个函数图像的交点个数去讨论，两个函数最好一个不含参数，另一个为含参数的常见函数（最好是一次函数），刻画不含参数的函数图像需要用导数等工具刻画其单调性、极值等，还需要利用函数的奇偶性、周期性等把图像归结为局部
8、图像的平移或翻折等.13. 二项式的展开式的第二项的系数为12，则 参考答案： 314. （文）不等式的解为 .参考答案：由行列式的定义可知不等式为，整理得，解得，或（舍去），所以。15. 已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是 参考答案：有三个零点，根据题意可得时，函数有一个零点；时，函数有两个零点.当时，恒成立，故；当时，要使得有两个零点，需满足，解得，综上可得，故答案为.16. 函数.给出函数下列性质：函数的定义域和值域均为；函数的图像关于原点成中心对称；函数在定义域上单调递增；（其中为函数的定义域）；、为函数图象上任意不同两点，则.请写出所有关于函数性质正确描述的序号 参考答案：1
9、7. 设函数cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)= . 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级，这个值越高就代表空气污染越严重，各级别如下表：日均指数035357575115115150150250超过250级别一级二级三级四级五级六级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市连续检测统计30天的数据，得到各级别的频数分布直方图
10、如下，并以该统计数据求：（）该市空气被污染的概率；（）从这30天中任取两天，设X为这两天中空气质量为优的天数，求X的分布列和数学期望参考答案：解】：（）（），x的分布列为：X012P略19. （本小题满分14分）已知函数 (I)当a=1时,求在区间上的最大值和最小值； (II)求在x=1处的切线方程；（III)若在区间(1，+)上，恒成立 ,求实数a的取值范围.参考答案：20. 如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD（）求证：CD平面ABD；（）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积参考答案：考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间
11、位置关系与距离分析：（）证明：CD平面ABD，只需证明ABCD；（）利用转换底面，VAMBC=VCABM=SABM?CD，即可求出三棱锥AMBC的体积解答：（）证明：AB平面BCD，CD?平面BCD，ABCD，CDBD，ABBD=B，CD平面ABD；（）解：AB平面BCD，BD?平面BCD，ABBDAB=BD=1，SABD=，M为AD中点，SABM=SABD=，CD平面ABD，VAMBC=VCABM=SABM?CD=点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥AMBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键21. （本小题满分12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个位的二进制数，其中的各位数字中，出现
12、的概率为，出现的概率为例如：，其中记,当启动仪器一次时 ()求的概率； ()求的概率分布列及参考答案：解（）（） 令22. 设函数，其中是的导函数.，(1)求的表达式；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，比较与的大小，并加以证明.参考答案：（1）；（2）；（3），证明见解析.试题分析：（1）易得，且有，当且仅当时取等号，当时，当时，由，得，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，继而得，经检验，所以；在范围内恒成立，等价于成立，令 ，即成立，令，得，分和两种情况讨论，分别求出的最小值，继而求出的取值范围；（3）由题设知：，比较结果为：，证明如下：上述不等式等价于在（2）中取，可得，令，则，即，使用累加法即可证明结论.试题解析：，（1），即，当且仅当时取等号当时，当时，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列当时，（2）在范围内恒成立，等价于成立令，即恒成立，令，即，得当即时，在上单调递增所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以设因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为（3）由题设知：，比较结果为：证明如下：上述不等式等价于在（2）中取，可得令，则，即故有上述各式相加可得：结论得证.考点：等差数列的判断及通项公式；函数中的恒成立问题；不等式的证明.
