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1、2022年北京第80中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线(a0, b0)的离心率为e，则它的两条渐近线所成的角中以实轴为平分线的角的大小为（ ）A B C D参考答案：C2. 已知甲、乙两名同学在五次数学单元测验中得分如下： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 学生甲6872706971学生乙6972687368则甲、乙两名同学数学成绩（ ）A甲比乙稳定 B甲、乙稳定程度相同 C 乙比甲稳定 D无法确定参考答案：A3. 对于右边的程序，若输入m4，则输出的数为 ( )A9 B5
2、C5或7 D7参考答案：B4. 设a为常数，函数，给出以下结论：（1）若，则存在唯一零点（2）若，则（3）若f(x)有两个极值点，则其中正确结论的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0参考答案：A【分析】（1）先根据函数存在零点，得到方程有实根，再令，将问题转为函数图像与直线有交点即可，用导数的方法研究函数单调性和最值，即可得出结论成立；（2）根据（1）的结果，可判断当时，在上恒成立，从而可得在上恒成立，即可得出结论成立；（3）先对函数求导，根据题意得到，再将函数有两极值点，转化为方程有两不等式实根来处理，用导数的方法研究其单调性，和值域，进而可得出结论成立.【详解】（1）若函数存在零点
3、，只需方程有实根，即方程有实根，令，则只需函数图像与直线有交点即可.又，由可得；由可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，因此，当时，直线与图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；（2）由（1）可知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正确；（3）因为，所以，若有两个极值点，则，所以，又由有两个极值点，可得方程有两不等实根，即方程有两不等式实根，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，；当时，；所以方程有两不等式实根，只需直线与函数的图像有两不同交点，故；所以，即（3）正确.故选A【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函
4、数求导，用导数的方法研究函数单调性、最值等，属于常考题型.5. 已知双曲线:的左焦点为F，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线MF与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线C的离心率为（ ）A B C D参考答案：A【分析】根据条件求出圆心的坐标，利用直线与圆相切，建立条件关系，求出的关系即可得到结果【详解】设圆心，双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则，即则圆心的坐标圆与双曲线的两渐近线均相切，圆到直线的距离整理可得：则即则故选6. 直线x+y+1=0的倾斜角为（）A150B120C60D30参考答案：A【考点】直线的一般式方程【专题】计算题【分析】
5、直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解【解答】解：设直线的倾斜角为（0180），则tan=所以=150故选A【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题7. 与命题等价的命题是（ ） 参考答案：D略8. 展开式中的系数是A、 B、 C、 D、参考答案：D略9. 抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功的次数X的期望是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C略10. 如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=， 从C、D两点测得A点的仰角分别为则A点离地面的高度AB=（ ）A.B.C. D.参考答案：A二、 填空题:本大题共7小
6、题,每小题4分,共28分11. 直线2xy+1=0的一个单位法向量为 （填一个即可）参考答案：=（，）【考点】直线的一般式方程【分析】由直线的一般式方程可得其向量，可得直线的方向向量，进而可得其法向量，单位化即可【解答】解：化直线的方程为斜截式y=2x+1，直线的斜率为2，直线的一个方向向量为（1，2），直线的一个法向量为（2，1），其模长为=单位化可得=（2，1）=（，）故答案为：12. 已知关于x的不等式的解集为R，则实数k的范围是_参考答案：k3略13. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是参考答案：解：设剪成的小正三角形的边长为x
7、，则：（方法一）利用导数求函数最小值，=，当时，S（x）0，递减；当时，S（x）0，递增；故当时，S的最小值是故当时，S的最小值是14. 某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有_种参考答案：24【分析】根据特殊问题优先考虑原则，可先安排除甲以外的人去北京，因此分两种情况：一人去北京或两人去北京，即可求出结果.【详解】若安排一人去北京，共有种；若安排两人去北京，共有种，总共24种.【点睛】本题主要考查排列组合问题，排列组合的常用策略：（1）特殊位置特殊元素优先考虑；（2）相邻问题捆绑策略；（3）不相邻
8、问题插空策略；（4）定序问题倍缩原则；（5）均分问题除法原则；（6）相同元素隔板策略等.属于中档试题.15. 用秦九韶算法计算多项式在x=1时的值时，V3的值为-_.参考答案：略16. 已知等比数列an，a1=1，a4=8，则S7=参考答案：【考点】等比数列的前n项和【分析】设出等比数列的公比，由a1和a4的值求出q，直接代入等比数列的前n项和公式求S7【解答】解：设等比数列an的公比为q，由a1=1，a4=8，得：a4=a1q3=1q3=8，所以，q=2则S7=故答案是：17. 有以下几个命题：已知a、b、cR，则“a=b”的必要不充分条件是“ac=bc”；已知数列an满足a1=2，若an+
9、1：an=（n+1）：n（nN*），则此数列为等差数列；f（x0）=0是函数y=f（x）在点x=x0处有极值的充分不必要条件；若F1（0，3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+，（ aR+，a为常数），则点P的轨迹是椭圆其中正确的命题序号为 参考答案：【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑；推理和证明【分析】根据充要条件的定义，可判断；根据等差数列的定义，可判断；根据椭圆的定义，可判断【解答】解：若“a=b”成立，则“ac=bc”成立，但“ac=bc”成立时，“a=b”不一定成立，故“a=b”的必要不充分条
10、件是“ac=bc”，故为真命题；数列an满足a1=2，若an+1：an=（n+1）：n，可得：an+1an=an，当n=1时，a2=4，若数列an为等差数列则d=2，此时an=2n，an+1an=2，满足要求，故为真命题；f（x0）=0是函数y=f（x）在点x=x0处有极值的必要不充分条件，故错误；动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+6，则点P的轨迹是椭圆或线段，故错误；故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，等差数列，极值，椭圆的定义等知识点，难度中档三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图已知正四棱柱ABC
11、D-A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点。（1）证明：EF平面;（2）求点A1到平面BDE的距离;（3）求BD1与平面BDE所成的角的余弦值.参考答案：(1) 以D为原点，DA、DC、AA1所在直线 为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.D (0，0，0)，B（1，1，0）D1（0，0，2），E（0，1，1），F（，1） DB=（1，1，0），=（0，0，2）， x EF=（，0） 由 DBEF=0，EF=0，得，EFDB，EFDD1 EF面D1DB1-(2) 设=（x,y,z）是平面BDE的法向量，DB=(1,1,0)，DE =(0,1,1)由DB, D
12、E得 即取y=1，=（-1，1，-1）,由(2)知点到平面BDE的距离为 =-19. 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=（）若b=4，求sinA的值；（）若ABC的面积S=4，求b、c的值参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；（2）由ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值【解答】解：（I）（2分）由正弦定理得（II），c=5（7分）由余弦定理得b2=a2+c22accosB，（10分）【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式20. （本小题满分12分）已知图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米.（1）求该拱桥所在抛物线的标准方程.（2）若在水面上有一宽为2米，高为1.6米的船只能否安全通过拱桥？参考答案：(1)如图建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为 2已知点(2，-2)在抛物线上，代入解得所以抛物线的标准方程为 6(2)当所以此船只不能安全通过拱桥。
