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1、2022年上海国和中学高二数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为（ ）A. B. C. D.参考答案：A考点：几何概型及其概率的计算2. 用数学归纳法证明不等式2nn2时，第一步需要验证n0=_时，不等式成立（ ）A. 5 B. 2和4 C. 3 D. 1参考答案：A3. 若点（5，b）在两条平行直线6x8y+1=0与3x4y+5=0之间，则整数b的值为（）A5B5C4D4参考答案：C【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条平行直线间的距离【分析】先用
2、待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于且小于，求出整数b的值【解答】解：设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x4y+c=0，把点（5，b）代入直线的方程解得c=4b15，过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x4y+4b15=0，由题意知，直线在y轴上的截距满足：，b5，又b是整数，b=4故选C4. 若实数a,b满足a0,b0,且ab=0，则称a与b互补，那么是a与b互补的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：C5. 设，且，若能被13整除，则（ ）A 0 B 1 C 11 D
3、12参考答案：D6. 已知函数的导函数，则中最大的数是（ ）A B C D 参考答案：D略7. 当xR时，可得到不等式x2，x3，由此可推广为xn1，其中P等于 ( )A B D参考答案：A略8. 根据右边框图，当输入x为6时，输出的y=（ ）A. 1B. 2C. 5D. 10参考答案：D该程序框图运行如下：，故答案选.考点：程序框图的识别.9. 命题“存在x0R，20”的否定是（）A不存在x0R，20B存在x0R，20C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x0参考答案：D【考点】特称命题；命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可【解答】解
4、：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0R，20”的否定是“对任意的xR，都有2x0”故选：D【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题10. 如果ab，那么下列不等式中正确的是（）AacbcBabCcacbD参考答案：C【考点】不等式的基本性质【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可【解答】解：对于A，c0时，不成立，对于B，ab，对于C，根据不等式的性质，成立，对于D，a，b是负数时，不成立，故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设椭圆的右焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为_参考答案：1
5、2. 已知ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则ABC面积的最大值为参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值【解答】解：由r=1，利用正
6、弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，tanA=，tanB=，=，sinAcosB=cosA（2sinCsinB）=2sinCcosAsinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，sinC0，cosA=，即A=，cosA=，bc=b2+c2a2=b2+c2（2rsinA）2=b2+c232bc3，bc3（当且仅当b=c时，取等号），ABC面积为S=bcsinA3=，则ABC面积的最大值为：故答案为：13. 曲线y=sinx，y=cosx，x=0，x=所围成的平面图形的面积为 参考答案：22 略14. 已
7、知点A（0，2）为圆C：x2+y22ax2ay=0（a0）外一点，圆C上存在点P使得CAP=45，则实数a的取值范围是（）A（0，1）BCD参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，由题意可得1sinCAP，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（xa）2+（ya）2=2a2，圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|，AC=，PC=|a|，AC和PC长度固定，当P为切点时，CAP最大，圆C上存在点P使得CAP=45，若最大角度大于45，则圆C上存在点P使得CAP
8、=45，=sinCAP=sin45=，整理可得a2+2a20，解得a或a，又=1，解得a1，又点 A（0，2）为圆C：x2+y22ax2ay=0外一点，02+224a0，解得a1a0，综上可得1a1故选B【点评】本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题15. 为了解某校高二学生联考数学成绩分布，从该校参加联科的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，若第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频率是6，则样本容量为 ；众数为 参考答案：40,102.516. 在中，面积为，则 .参考答案：17. 设为等差数列的前n项和，若，则 。参考答案
9、：15三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）下左图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线和平面所成角的正弦值.参考答案：解: 设，建立如图所示的坐标系，则.为的中点，. 2分（1）证：， ，平面，平面. 5分（2）证：， ，. 平面，又平面，平面平面. 8分 (3)解：设平面法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角的正弦值为. 12分略19. （本小题13分）已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；（
10、2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程参考答案：20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。求证：PCBC；求点A到平面PBC的距离。参考答案：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2
11、倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。略21. 已知p: , q:x22x+1m20(m0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.参考答案：由x22x+10得：1mx1+m(m0) 所以：“q”：A=x|x1+m或x0 由p：得：2x10,所以 “ p”:B=x|x10或x2. 由p是q的必要而不充分条件，知：AB, 故m的取值范围为略22. 已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行 (1）求的解析式；(2）求函数的单调递增区间及极值。（3）求函数在的最值。参考答案：(1)由,可得. 由题设可得 即解得,.所以. (2)由题意得, 所以.令,得,. 4/270
