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1、 文科立体几何知识点 一直线和平面的三种位置关係： 1. 线面平行 符号表示： 2. 线面相交 符号表示 3. 线在面内 符号表示： 二平行关係： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 若，则。 方法四：用向量方法 若向量和向量共线且l、m不重合，则。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用平面法向量实现。 若为平面的一个法向量，且,则。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 方法二：用线面平行实现。 三垂直关係： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 2. 面面
2、垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 3.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：三垂线定理及其逆定理。 方法三：用向量方法 若向量和向量的数量积为0，则。 三夹角问题。 (一)异面直线所成的角： (1) 範围： (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： (二)线面角 (1)定义：直线l上任取一点p（交点除外），作po于o,连结ao，则ao为斜线pa在面内的射影， (图中)为直线l与面所成的
3、角。 (2)範围： 当时，或 当时，(3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 (三)二面角及其平面角 (1)定义：在稜l上取一点p，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角l的平面角。 (2)範围： (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面poa同时垂直于平面，则交线(射线)ap和ao的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。 方法三：座标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一：计算
4、步骤二：判断与的关係，可能相等或者互补。 四距离问题。 1点面距。 方法一：几何法。 步骤1：过点p作po于o，线段po即为所求。 步骤2：计算线段po的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。 3异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。 如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。 如图，ad是异面直线m和n的公垂线段，则异面直线m和n之间的距离为： 高考题典例 考点1 点到平面的距离 例1如图，正三稜柱的全部稜长都为，为中点 （）求证：平面；（
5、）求二面角的大小； （）求点到平面的距离 解答过程（）取中点，连结 为正三角形， 正三稜柱中，平面平面， 平面连结，在正方形中，分别为的中点， ， 在正方形中， 平面 （）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面 ， 为二面角的平面角 在中，由等面积法可求得， 又， 所以二面角的大小为 （）中， 在正三稜柱中，到平面的距离为 设点到平面的距离为 由，得， 点到平面的距离为 考点2 异面直线的距离 例2 已知三稜锥，底面是边长为的正三角形，稜的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求cd与se间的距离. 解答过程： 如图所示，取bd的中点f，连结ef，sf，cf， 为的中位线，面,到平面的距
6、离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点c到平面 的距离，设其为h，由题意知，,d、e、f分别是ab、bc、bd的中点， 在rt中， 在rt中， 又由于，即，解得故cd与se间的距离为. 考点3 直线到平面的距离 例3 如图，在稜长为2的正方体中，g是的中点，求bd到平面的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一平面， 上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求 点o平面的距离, ，平面, 又平面平面，两个平面的交线是, 作于h，则有平面，即oh是o点到平面的距离. 在中，. 又.即bd到平面的距离等于. 解析二 平面， 上任意一
7、点到平面的距离皆为所求，以下求点b平面的距离. 设点b到平面的距离为h，将它视为三稜锥的高，则 , 即bd到平面的距离等于. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选準恰当的点，转化为点面距离. 本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点4 异面直线所成的角 例4如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角是的中点 （i）求证：平面平面； （ii）求异面直线与所成角的大小 解答过程：（i）由题意， 是二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面平面平面 （ii）作，垂足为，连结（如图），则，
8、 是异面直线与所成的角 在中， 又在中， 异面直线与所成角的大小为 小结： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法： 在异面直线中的一条直线上选择“特别点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟识的几何体，其目的在于简单发现两条异面直线间的关係，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法. 同时要特别留意异面直线所成的角的範围：. 考点5 直线和平面所成的角 例5. 四稜锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知， （）证明；（）求直线与平面所成角的大小 解答过程：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面
9、 因为，所以， 又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得 （）由（）知，依题设， 故，由，得 ， 的面积 连结，得的面积 设到平面的距离为，由于，得，解得 设与平面所成角为，则 所以，直线与平面所成的我为 小结：求直线与平面所成的角时，应留意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关係；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角 例6如图，已知直二面角， ，直线和平面所成的角为（i）证明 （ii）求二面角的大小 过程指引：（i）在平面内过点作于点，连结 因为，所以， 又
10、因为，所以 而，所以， 从而，又， 所以平面因为平面，故 （ii）由（i）知，又， ，所以过点作于点，连结，由三垂线定理知，故是二面角的平面角 由（i）知，所以是和平面所成的角，则， 不妨设，则， 在中，所以，于是在中，故二面角的大小为 小结：本题是一个无稜二面角的求解问题.解法一是确定二面角的稜，进而找出二面角的平面角. 无稜二面角稜的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定稜，由二面角两个平面内的两条平行直线找出稜，补形构造几何体发现稜；解法二则是利用平面对量计算的方法，这也是解决无稜二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面对量计算的方法求出二面角的大小.
