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1、高中数学竞赛 大纲 应该掌握的内容和知识点1. 集合 ( set)1.1集合的阶， 集合之间的关系。1.2集合 的分划1.3 子集，子集族1.4 容斥原理2. 函数( function )2.1 函数的定义域、值域2.2 函数的性质2.2.1 单调性2.2.2 奇偶性2.2.3 周期性2.2.4 凹凸性2.2.5 连续性2.2.6 可导性2.2.7 有界性2.2.8 收敛性2.3 初等函数2.3.1 一次、二次、三次函数2.3.2 幂函数2.3.3 双勾函数2.3.4 指数、对数函数2.4 函数的迭代2.5 函数方程3. 三角函数( trigonometric function )3.1 三角
2、函数图像与性质3.2 三角函数运算3.3 三角恒等式、不等式、最值3.4 正弦、余弦定理3.5 反三角函数3.6 三角方程4. 向量( vector )4.1 向量的运算4.2 向量的坐标表示，数量积5. 数列( sequence)5.1 数列通项公式求解5.1.1 换元法5.1.2 特征根法5.1.3 不动点法，迭代法5.1.4 数学归纳法，递归法6不等式( inequality )6.1 解不等式6.2 重要不等式6.2.1 均值不等式6.2.2 柯西不等式6.2.3 排序不等式6.2.4 契比雪夫不等式6.2.5 赫尔德不等式6.2.6 权方和不等式6.2.7 幂平均不等式6.2.8 琴
3、生不等式6.2.9 Schur 不等式6.2.10 嵌入不等式6.2.11 卡尔松不等式6.3 证明不等式的常用方法6.3.1 利用重要不等式6.3.2 调整法6.3.3 归纳法6.3.4 切线法6.3.5 展开法6.3.6 局部法6.3.7 反证法6.3.8 其他7.解析几何( analytic geometry )7.1 直线与二次曲线方程7.2 直线与二次曲线性质7.3 参数方程7.4 极坐标系8立体几何( solid geometry )8.1 空间中元素位置关系8.2 空间中距离和角的计算8.3 棱柱，棱锥，四面体性质8.4 体积，表面积8.5 球，球面8.6 三面角8.7 空间向量
4、10.5 偏导数9. 排 列 ， 组 合 ， 概 率 ( permutations,combinatorics, probability )9.1 排列组合的基本公式9.1.1 加法、乘法原理9.1.2 无重复的排列组合9.1.3 可重复的排列组合9.1.4 圆排列、项链排列9.1.5 一类不定方程非负整数解的个数9.1.6 错位排列数9.1.7 Fibonacci 数9.1.8 Catalan 数9.2 计数方法9.2.1 映射法9.2.2 容斥原理9.2.3 递推法9.2.4 折线法9.2.5 算两次法9.2.6 母函数法9.3 证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel 法9.3.2 算子
5、方法9.3.3 组合模型法9.3.4 归纳与递推方法9.3.5 母函数法9.3.6 组合互逆公式9.4 二项式定理9.5 概率9.5.1 独立事件概率9.5.2 互逆事件概率9.5.3 条件概率9.5.4 全概率公式，贝叶斯公式9.5.5 现代概率，几何概率9.6 数学期望10. 极限，导数( limits, derivatives )10.1 极限定义，求法10.2 导数定义，求法10.3 导数的应用10.3.1 判断单调性10.3.2 求最值10.3.3 判断凹凸性10.4 洛比达法则11. 复数( complex numbers )11.1 复数概念及基本运算11.2 复数的几个形式11
6、.2.1 复数的代数形式11.2.2 复数的三角形式11.2.3 复数的指数形式11.2.4 复数的几何形式11.3 复数的几何意义，复平面11.4 复数与三角，复数与方程11.5 单位根及应用12. 平面几何( plane geometry)12.1 几个重要的平面几何定理12.1.1 梅勒劳斯定理12.1.2 塞瓦定理12.1.3 托勒密定理12.1.4 西姆松定理12.1.5 斯特瓦尔特定理12.1.6 张角定理12.1.7 欧拉定理12.1.8 九点圆定理12.2 圆幂，根轴12.3 三角形的巧合点12.3.1 内心12.3.2 外心12.3.3 重心12.3.4 垂心12.3.5 旁
7、心12.3.6 费马点12.4 调和点列12.5 圆内接调和四边形12.6 几何变换12.6.1 平移变换12.6.2 旋转变换12.6.3 位似变换12.6.4 对称变换(反射变换)12.6.5 反演变换12.6.6 配极变换12.7 几何不等式12.8 平面几何常用方法12.8.1 纯几何方法12.8.2 三角法12.8.3 解析法12.8.4 复数法12.8.5 向量法12.8.6 面积法13. 多项式( polynomials )13.1 多项式恒等定理13.2 多项式的根及应用13.2.1 韦达定理13.2.2 虚根成对原理13.3 多项式的整除，互质13.4 拉格朗日插值多项式13
8、.5 差分多项式13.6 牛顿公式13.7 单位根13.8 不可约多项式，最简多项式14. 数学归纳法( mathematical induction )14.1 第一数学归纳法14.2 第二数学归纳法14.3 螺旋归纳法14.4 跳跃归纳法14.5 反向归纳法14.6 最小数原理7. 初等数论( elementary number theory )15.1 整数，整除15.2 同余15.3 素数，合数15.4 算术基本定理15.5 费马小定理，欧拉定理15.6 拉格朗日定理，威尔逊定理15.7 裴蜀定理15.8 平方数15.9 中国剩余定理15.10 高斯函数15.11 指数，阶，原根15.
9、12 二次剩余理论15.12.1 二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre 符号15.12.3 Gauss 二次互反律15.13 不定方程15.13.1 不定方程解法15.13.1.1 同余法15.13.1.2 构造法15.13.1.3 无穷递降法15.13.1.4 反证法15.13.1.5 不等式估计法15.13.1.6 配方法，因式分解法15.13.2 重要不定方程15.13.2.1 一次不定方程(组)15.13.2.2 勾股方程15.13.2.3 Pell 方程15.14 p 进制进位制， p 进制表示16. 组合问题( combinatorics )16.1 组合计数问题(参
10、见 9.1,9.2 )16.2 组合恒等式，不等式(参见 9.3)16.3 存在性问题16.4 组合极值问题16.5 操作变换，对策问题16.6 组合几何16.6.1 凸包16.6.2 覆盖16.6.3 分割16.6.4 整点16.7 图论16.7.1 图的定义，性质16.7.2 简单图，连通图16.7.3 完全图，树16.7.4 二部图， k 部图16.7.5 托兰定理16.7.6 染色与拉姆塞问题16.7.7 欧拉与哈密顿问题16.7.8 有向图，竞赛图16.8 组合方法16.8.1 映射法，对应法，枚举法16.8.2 算两次法16.8.3 递推法16.8.4 抽屉原理16.8.5 极端原
11、理16.8.6 容斥原理16.8.7 平均值原理16.8.8 介值原理16.8.9 母函数法16.8.10 染色方法16.8.11 赋值法16.8.12 不变量法16.8.13 反证法16.8.14 构造法16.8.15 数学归纳法16.8.16 调整法16.8.17 最小数原理16.8.18 组合计数法17.其他（ others） （了解即可，不作要求）17.1 微积分，泰勒展开17.2 矩阵，行列式17.3 空间解析几何17.4 连分数17.5 级数， p 级数，调和级数，幂级数17.6 其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。 几个重要定
12、理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点 -重心。三角形内到三边距离之积最大的点 -重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三
13、角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。一元 n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里 得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性 质。3、立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多
14、面体，欧拉定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。5、其它 抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。竞赛内容和方式1、联赛分第一试和第二试。2、第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、 六道填空题和三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。3、第二试共有三道题。其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合题。内容 以竞赛大纲为准。8：00-9：20，一试；9：40-12：10，加试（也就是二试）
