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1、 试卷代号：1076国家开放大学2021年春季学期期末统一考试常微分方程 试题2021年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.一阶变量可分离微分方程M(x)N(y)dx-+P(x)Q(y)dy=0的积分因子是( ).A.=1MxN(y)B. =1MxP(y)C. =1PxQ(y)D. =1MxQ(y)2.方程dydx=1-y2+1( ).A.有奇解y=1B.有奇解y=lC.无奇解D.有奇解y=-l3.方程dydx=y2过点(1，1)的解的存在区间是( ).A.（-，+）B.(-,2)C.(0，+)D.(1，+)4.三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( )线性空间.A.1维B.2维
2、C.3维D.4维5.方程组dxdt=-ydydt=x的奇点(0，0)的类型是( ).A.中心B.焦点C.鞍点D.结点二、填空题（每小题3分，本题共15分）6.微分方程x(y)2-2yy+x=O是 阶微分方程.7.方程dydx=y满足初值解的存在且惟一性的区域是 .8.二阶方程y+f(x)y+g(x)y=O的等价方程组是 .9.二阶线性方程y+y=O的基本解组是 .10.平面系统dxdt=x+2ydydt=x的奇点类型是 .三、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11.求变量可分离方程(1+x)ydx+(1-y)xdy=0的通积分.12.求一阶线性非齐次方程dydx+2x
3、y=4x的通解.13.求全微分方程e-ydx-(2y+xe-y)dy=O的通积分。14.求恰当导数方程yy+(y)2=O的通积分.15.求可降阶的高阶方程y3y+1=O的通积分，四、计算题（本题共15分）16.求下列常系数线性微分方程组的通解：dxdt=x+ydydt=4x+y五、证明题（本题共15分）17.若f(u)在(-，+)上连续可微，且当uO时，uf（u）0，求证：方程dydx=x2f(siny)的任一解y=y(x)均在(一，+)上存在.试卷代号：1076 国家开放大学2 0 2 1年春季学期期末统一考试 常微分方程 试题答案及评分标准 （供参考） 2021年7月一、单项选择题（每小题
4、3分，本题共15分） 1B 2C 3B 4C 5A二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6一 7满足y0的上半平面 8dydx=y1dy1dx=-fxy1-gxy 9cosx，sinx 10.鞍点三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解 当x0，y0时，将方程改写为 y-1ydy =x+1xdx （4分） 积分得y -ln I y l=x+ln I x I+C 即通积分为y-x-ln I xy I=C （8分） 12.解 对应的齐次方程 dydx+2xy=0 的通解为：y=Ce-x2 （4分） 令非齐次方程解为：y=C(x) e-x2 代人原方程，得C(x) =2ex2 +C 原方程
5、通解为：y=Ce-x2+2 （8分） 注：直接用通解公式正确求出方程通解，参照给分 13.解 M(x，y)=e-y，N(x，y)=-(2y+xe-y) My=-e-y=Nx 因此，原方程是全微分方程 （3分） 取(x0，y0)=(0，0)，原方程的通积分为 0xe-ydx-0y2ydy=C （6分） 即e-y-y2=C (8分） 14.解 原方程为恰当导数方程，可改写为(yy)=0 即yy =C （4分） 积分得通积分y2=C1x+C2 （8分） 15解 令y=p ,y=pdpdx （3分） 积分，得12p2 =12y-2+ C1，p2 =1y2+C=1+Cy2y2 dydx=1+Cy2y （
6、5分） 分离变量，积分得，ydy1+Cy2=dx +C2 原方程的通积分为1 +Cy2 =(Cx+C3)2 （8分）四、计算题（本题共15分） 16解 特征方程为|A-E|=1-141-=-3+1=0 （5分） 特征根1 =3，2 =-1 （7分） 1 =3对应的特征向量为12 2 =-1对应的特征向量为1-2 （12分） 原方程组的通解为xy=C1e3t2e3t+C2e-t-2e-t (15分，五、证明题(本题共15分) 17.证明 由已知条件，方程在全平面上满足存在惟一性定理及解的延展定理条件（6分） 由已知条件容易证明地f(0)=0于是方程有无穷多个常数解y =n，n=0，l，2，它们是平面上的一族平行直线 （9分） 设(x0，y0)是任一初始点，则相应的初值解y=y(x)的函数图像或者是上述平行线中的一条，或是介于某两条平行线之间，由解的准一性和延展定理易知其存在区间为（-，+） （15分）
