《2022届高考数学（理）大一轮复习知识讲义_第七章不 等 式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学（理）大一轮复习知识讲义_第七章不 等 式（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 45 页 第七章第七章 不不 等等 式式 第一节第一节 不等式的性质及一元二次不等式不等式的性质及一元二次不等式 突破点突破点(一一) 不等式的性质不等式的性质 基础基础联通联通 抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流” 1比较两个实数大小的方法比较两个实数大小的方法 (1)作差法作差法 ab0ab a，bR ，ab0ab a，bR ，ab0a1ab aR，b0 ，ab1ab aR，b0 ，ab1a0 . 2不等式的基本性质不等式的基本性质 性质性质 性质内容性质内容 特别提醒特别提醒 对称性对称性 abbb，bc ac 可加性可加性 abacbc 可乘性可乘性 abc0
2、acbc 注意注意 c 的符号的符号 abc0 acbcd acbd 同向同正可乘性同向同正可乘性 ab0cd0 acbd0 可乘方性可乘方性 ab0 anbn(nN，n1) a，b 同为正数同为正数 可开方性可开方性 ab0 nanb(nN，n2) 3.不等式的一些常用性质不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质倒数的性质 ab，ab0 1a1b.a0b 1ab0,0cbd.0axb 或或 axb0 1b1xb0，m0，则：，则：babmam(bm0)abambm；ab0). 考点考点贯通贯通 抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神” 比较两个数比较两个数(式式)的大小的大小 例例 1 (
3、1)已知已知 a1， a2(0,1)， 记， 记 Ma1a2， Na1a21， 则， 则 M 与与 N 的大小关系是的大小关系是( ) AMN CMN D不确定不确定 (2)若若 aln 22，bln 33，则，则 a_b(填填“”或或“”) 解析解析 (1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即，即 MN0.M N. (2)易知易知 a，b 都是正数，都是正数，ba2ln 33ln 2log891，所以，所以 ba. 答案答案 (1)B (2) 方法技巧方法技巧 比较两个数比较两个数(式式)大小的两种方法
4、大小的两种方法 第 3 页 共 45 页 不等式的性质不等式的性质 例例 2 (1)如果如果 ab0，那么下列不等式成立的是，那么下列不等式成立的是( ) A.1a1b Babb2 Caba2 D1ab，cd，则，则 acbd B若若 acbc，则，则 ab C若若ac2bc2，则，则 ab，cd，则，则 acbd (3)(2016 西安八校联考西安八校联考)“x13 且且 x23”是是“x1x26 且且 x1x29”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 (1)法一法一(性质判断性质
5、判断)：对于：对于 A 项，由项，由 ab0，ab0，故，故1a1bbaab0，1a1b，故，故 A 项错误；对于项错误；对于 B 项，由项，由 ab0，abb2，故，故 B 项错误；对于项错误；对于 C 项，项，由由 ab0，a2ab，即，即aba2，故，故 C 项错误；对于项错误；对于 D 项，由项，由 ab0，得，得 ab0，故，故1a 1babab0，1a1b1，ab2b21，ab2a24，1a121b1.故故 A、B、C 项错误，项错误，D 项正确项正确 (2)取取 a2，b1，c1，d2，可知，可知 A 错误；当错误；当 cbc ab，B 错误；错误；ac20，a3，x23 x1x
6、26，x1x29；反之不成立，例如；反之不成立，例如 x112，x220，x1x24126，x1x2109，但，但 x13 且且 x23”是是“x1x26 且且 x1x29”的充分不必要条件的充分不必要条件 答案答案 (1)D (2)C (3)A 方法技巧方法技巧 不等式性质应用问题的常见类型及解题策略不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 (1)不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件等式性质成立的前提条件 第 4 页 共 45 页 (2)与充分、必要条件相结合问题用
7、不等式的性质分别判断与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断 p q 和和 q p 是否正确，要是否正确，要注意特殊值法的应用注意特殊值法的应用 (3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法特殊值验证的方法 能力能力练通练通 抓应用体验的抓应用体验的“得得”与与“失失” 1.考点一考点一设设 a，b0，)，A a b，B ab，则，则 A，B 的大小关的大小关系是系是( ) AAB BAB CAB 解析：解析：选选 B 由题意得，由题意得，B2A22 ab0，且，且
8、 A0，B0，可得，可得 AB. 2.考点二考点二若若 m0，n0 且且 mn0，则下列不等式中成立的是，则下列不等式中成立的是( ) Anmnm Bnmmn Cmnmn Dmnnm 解析：解析：选选 D 法一法一：(取特殊值法取特殊值法)令令 m3，n2 分别代入各选项检验即可分别代入各选项检验即可 法二法二：mn0 mn nm，又由于，又由于 m0n，故，故 mnnm 成立成立 3.考点二考点二若若 a0ba，cd0，则下列结论：，则下列结论：adbc；adbc0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的个数是中，成立的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 C a0b，c
9、d0，ad0，bc0，adbc，故，故不成立不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，adbcacbdcd0，故，故成立成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故，故成立成立ab，dc0，a(dc)b(dc)，故，故成立成立的个数为成立成立的个数为 3. 4.考点二考点二设设 a，b 是实数是实数，则则“ab1”是是“a1ab1b”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既既不充分也不必要条件不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 因为因为 a1a b1b ab ab1 ab，若，若 ab1，
10、显然，显然 a1a b1b ab ab1 ab0，则充分性成立，当，则充分性成立，当 a12，b23时，显然时，显然不等式不等式 a1ab1b成立，但成立，但 ab1 不成立，所以必要性不成立不成立，所以必要性不成立 突破点突破点(二二) 一元二次不等式一元二次不等式 第 5 页 共 45 页 基础基础联通联通 抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流” 1三个三个“二次二次”之间的关系之间的关系 判别式判别式 b24ac 0 0 0 二次函数二次函数 yax2bxc(a0)的图象的图象 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的根 有两个相异实根有两个相异实根x1，x2(x1x
11、2) 有两个相等实根有两个相等实根 x1x2b2a 没有实数根没有实数根 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集的解集 x|xx2 x xb2a R 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集的解集 x|x1xx2 2.不等式不等式 ax2bxc0(0 对任意实数对任意实数 x 恒成立恒成立 ab0，c0或或 a0，0. (2)不等式不等式 ax2bxc0 对任意实数对任意实数 x 恒成立恒成立 ab0，c0或或 a0，0. 考点考点贯通贯通 抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神” 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 例例 1 解下列不等式：解下
12、列不等式： (1)3x22x80； (2)0 x2x24； (3)ax2(a1)x10(a0) 解解 (1)原不等式可化为原不等式可化为 3x22x80， 即即(3x4)(x2)0.解得解得2x43， 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x 2x43. (2)原不等式等价于原不等式等价于 x2x20，x2x24 x2x20，x2x60 第 6 页 共 45 页 x2 x1 0， x3 x2 0 x2或或x1，2x3. 借助于数轴，如图所示，借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集原不等式的解集为为x|2x1或或2x3 . (3)原不等式变为原不等式变为(ax1)(x1)0， 因为因为 a0
13、，所以，所以 a x1a(x1)0. 所以当所以当 a1，即，即1a1 时，解为时，解为 1x1a. 综上，当综上，当 0a1 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x 1x1a； 当当 a1 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 ； 当当 a1 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x 1ax1. 方法技巧方法技巧 1解一元二次不等式的方法和步骤解一元二次不等式的方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 (2)判：计算对应方程的判别式判：计算对应方程的判别式 (3)求：求求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没
14、有实根出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根 (4)写：利用写：利用“大于取两边，小于取中间大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集写出不等式的解集 2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于，小于 0，还是大于，还是大于 0，然后将不等式转化为一，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式次不等式或二次项系数为正的形式 (2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 与与 0 的关系的关系 (3
15、)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式从而确定解集形式 由一元二次不等式恒成立求参数范围由一元二次不等式恒成立求参数范围 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在全部在 x 轴上方，恒小于轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方另轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分
16、离参数求最值外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值 第 7 页 共 45 页 考法考法(一一) 在实数集在实数集 R 上恒成立上恒成立 例例 2 已知不等式已知不等式 mx22xm10，是否存，是否存在实数在实数 m 使得对所有的实数使得对所有的实数 x，不等式，不等式恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由 解解 不等式不等式 mx22xm10 恒成立， 即函数恒成立， 即函数 f(x)mx22xm1 的图象全部在的图象全部在 x轴下方轴下方 当当 m0 时，时，12x0，则，则 x12，不满足题意；，不满足题意； 当当 m0 时，函数时，函数 f(x)mx22xm1 为二次函数，为二次函数， 需满足开口向下且方程需满足开口向下且方程 mx22xm10 无解，无解， 即即 m0，44m 1m 0， 不等式组的解集为空集不等式组的解集为空集，即，即 m 无解无解 综上可知不存在这样的实数综上可知不存在这样的实数 m 使不等式恒成立使不等式恒成立 考法考法(二二) 在某区间上恒成立在某区间上恒成立 例例 3 设
