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1、湖南省衡阳市耒阳陶洲中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A.若，则 B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C.若，则 D.若，则 参考答案：D2. 设全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则A?UB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0D|x1参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，?UB=x
2、|x1，则A?UB=x|0x1，故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3. 函数的零点个数为A B C D参考答案：B4. 若关于x的方程2sin（2x+）=m在0，上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A（1，）B0，2C1，2）D1，参考答案：C【考点】正弦函数的图象【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x0，上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x0，时，2x+，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x0
3、，上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在0，上有两个不等实根，得11m2m的取值范围是1，2）故选：C5. （5分）（2015秋?太原期末）已知函数f（x）在R上的导函数为f（x），若f（x）f（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）2ex的解集是（）A（2，+）B（0，+）C（，0）D（，2）参考答案：B【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案【解答】解：?xR，都有f（x）f（x）成立，f（x）f（x）0，于是有（）0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，f（0）=2，g（0）=2，不等式f（x）2
4、ex，g（x）2=g（0），x0，故选：B【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性6. 一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积关于时间的函数为，则下列图中与函数图像最近似的是（ ）参考答案：B略7. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 2参考答案：D8.
5、复数的模为（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：B略9. 已知等比数列的公比,且,48成等差数列,则的前8项和为( )A127B255C511D1023参考答案：B10. 已知，1，1，则向量与的夹角为A、 B、C、D、参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是 参考答案：3，9【考点】简单线性规划的应用【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数的值域【解答】解：约束条件对应的平面区域如
6、下图示：由图易得目标函数z=2x+y在（1，1）处取得最小值3在（3，3）处取最大值9故Z=2x+y的取值范围为：3，9故答案为：3，912. 的展开式中的常数项是 (用数字作答)参考答案：答案：2013. 已知函数是奇函数，且当时，则当时，的解析式为 参考答案：14. 在中，角，的对边分别为，角，成等差数列， 则=-_；若同时边，成等比数列，则=_。参考答案：；。15. 集合的子集个数为 参考答案： 16. 当时，则方程根的个数是_参考答案：答案：2个 17. 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说
7、明，证明过程或演算步骤18. （）设证明，（），证明.参考答案：(1)要证原不等式成立只需证,下面用做差法证明：.,所以原不等式得证.(2)原不等式化令,由（1）可知不等式成立. 证法二: (1) 因为,所以 所以所以, 所以 ,所以原不等式成立.(2)因为 , 所以原不等式成立.19. （12分）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.参考答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+），因为，所以f (x) 在（0，1），（1，+）单调递增因为f（e
8、）=，所以f（x）在（1，+）有唯一零点x1，即f（x1）=0又，故f（x）在（0，1）有唯一零点综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，故点B（lnx0，）在曲线y=ex上由题设知，即，故直线AB的斜率曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的正切值参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
9、【专题】综合题【分析】（）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，从而证得CDAE；（）由等腰三角形的底边中线的性质可得AEPC，由（）知CDAE，从而AE面PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE；（）过点A作AMPD，由（）知，AE面PCD，故AME是二面角APDC的一个平面角，用面积法求得AE和AM，从而可求 二面角APDC的正切值【解答】（）证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD?平面ABCD，CDPA又CDAC，PAAC=A，CD面PAC，AE?面PAC，故CDAE（）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得PA=AC，E是PC的中
10、点，AEPC，由（1）知CDAE，从而AE面PCD，故AEPD由（）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD?平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，PD面ABE（）解：过点A作AMPD，垂足为M，连接EM，则（）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD，因此AME是二面角APDC的一个平面角由已知，得CAD=30设AC=a，则PA=a，AD=，PD=，AE=在直角ADP中，AMPD，AMPD=PAAD，AM=在直角AEM中，AE=，AM=，EM=atanAME=所以二面角APDC的正切值为【
11、点评】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力21. 已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（1，），一个焦点为（，0）（）求椭圆C的方程；（）若直线y=k（x1）（k0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，
12、求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围【解答】解：（）由题意得，解得a=2，b=1椭圆C的方程是；（）联立，得（1+4k2）x28k2x+4k24=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），又=于是，k0，的取值范围为【点评】本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的
13、能力，是难题22. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点求证：（1）BD1平面EAC；（2）平面EAC平面AB1C参考答案：【分析】（1）连接BD，交AC于O连接EO，BD1根据中位线可知BD1OE，又OE?平面EAC，BD1?平面EAC，根据线面平行的判定定理可知BD1平面EAC；（2）根据BB1AC，BDAC，BB1BD=B，满足线面垂直的判定定理，则AC平面BB1D1D，又BD1?平面BB1D1D则BD1AC，同理BD1AB1，从而BD1平面AB1C根据（1）可得BD1OE，从而EO平面AB1C，又EO?平面EAC，根据面面垂直的判定定理可知平面EAC平面AB1C【解答】证明：（1）连接BD，交AC于O连接EO，BD1因为E为DD1的中点，所以BD1OE又OE?平面EAC，BD1?平面EAC，所以BD1平面EAC；（2）BB1
