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1、2020-2021学年天津益中学校 高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是 A B C D 参考答案：C2. 已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A0BC1D参考答案：B【考点】分段函数的应用【分析】利用分段函数的解析式，转化求解即可【解答】解：函数f（x）=，则f（5）=f（5+2）=f（3）=f（3+2）=f（1）=f（1+2）=f（1）=sin=故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，抽象函数求值，三角函数求值，考查计算能力3. 各项均为正数的等比
2、数列的前n项和为，若则等于 A80 B30 C26 D16参考答案：B4. 双曲线轴的一个交点是(2，0)，则该双曲线的渐近线方程为AB. C D参考答案：D双曲线与轴的交点是，则，故该双曲线的渐近线方程为.5. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 参考答案：C略6. 函数的最大值与最小值之和为（ ）。(A) (B) 0 (C) (D) 参考答案：A7. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12)、4m，不考虑树的粗细. 现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD. 设此矩形花圃的最
3、大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数（单位m2）的图象大致是（ ） A B. C. D.参考答案：C8. 若实数满足则的最小值是 A18 B6 C D参考答案：B9. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A甲、丙、乙 B乙、甲、丙C乙、丙、甲 D丙、乙、甲 参考答案：C10. 已知直线x+y5=0与两坐标轴围成的区域为M，不等式组 所形成的区域为N，现在区域M中随机
4、放置一点，则该点落在区域N的概率是（）ABCD参考答案：A【考点】简单线性规划【分析】由题意画出图形，求出M、N的面积，结合几何概型求得答案【解答】解：由题意画出图形如图，直线x+y5=0与两坐标轴围成的区域为M为三角形AOB及其内部区域，其面积为；不等式组所形成的区域为N为图中阴影部分，联立，解得C（，），其面积为由几何概型可得：点落在区域N的概率是故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_.参考答案： 12. 执行右边的程序框图，若，则输出的 参考答案：【解析】本小题主要考查程序框图。，因此输出答案：413.
5、 函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是kM，kN，规定（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，（M，N）=；设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，则（M，N）的取值范围是参考答案：（0，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】对于，由y=x3+1，得y=3x2，则kM=3，kN=12，则|kMkN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|=5，即可求出（M，N）=；对于，利用定义，再换
6、元，即可得出结论【解答】解：对于，由y=x3+1，得y=3x2，则kM=3，kN=12，则|kMkN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|=5，（M，N）=；曲线f（x）=x3+2，则f（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|2），则（M，N）=，0（M，N）故答案为，（0，）【点评】本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14. 已知数列an满足a1=0，an+1= (nN*),则a20=_参考答案：15. 已知圆关于直线对称，则圆的方程为_.参考答案： 16. 某简单几何体的三枧图如图所示，其最大侧面的面积为_参考答案：8【分析】由已知中的三视图，画出几何
7、体的直观图，然后求解三角形的面积，得到结果【详解】由三视图得到几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体的一部分，四棱锥PABCD，SBCP8，SABPSAPD8SPCD8故答案为：8【点睛】本题考查的知识点是由三视图还原几何体并求侧面面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状17. 已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，求及的面积。参考答案：19. （本小题满分1分）已知函数f(x)=
8、ln(x+)-x2-x在x = 0处取得极值(1)求实数的值；(2)若关于x的方程，f(x)= 在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；参考答案：令(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，20. 已知向量，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为 （）求的值；（）求函数在上的单调递增区间参考答案：略21. (本小题满分12分)已知函数(1)求不等式的解集；(2)设，其中R，求在区间l，3上的最小值；(3)若对于任意的a1,2，关于x的不等式在区间1，3上恒成立，求实数b的取值范围. 参考答案：22. 已知由n（nN*）个正整数构成的集合Aa1，a2，an（a1a2an，n3）
9、，记SAa1+a2+an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，an成等差数列”的充要条件是“”；（3）若SA2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.参考答案：（1）a11，a22；（2）证明见解析；（3）n最小值为11，an的最大值1010【分析】（1）考虑元素1，2，结合新定义SA，可得所求值；（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；（3）由于含有n个元素的非空子集个数有2n1，讨论当n10时，n11时，结合条件和新定义，推理可得所求.【详解】（1）由条件
10、知1SA，必有1A，又a1a2an均为整数，a11，2SA，由SA的定义及a1a2an均为整数，必有2A，a22；（2）证明：必要性：由“a1，a2，an成等差数列”及a11，a22，得aii（i1，2，n）此时A1，2，3，n满足题目要求，从而；充分性：由条件知a1a2an，且均为正整数，可得aii（i1，2，3，n），故，当且仅当aii（i1，2，3，n）时，上式等号成立.于是当时，aii（i1，2，3，n），从而a1，a2，an成等差数列.所以“a1，a2，an成等差数列”的充要条件是“”；（）由于含有n个元素的非空子集个数有2n-1，故当n10时，21011023，此时A的非空子集的元
11、素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.而用11个元素的集合A1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，2046，2047共2047个正整数.因此当SA2020时，n的最小值为11.记S10a1+a2+a10，则S10+a112020并且S10+1a11.事实上若S10+1a11，2020S10+a112a11，则a111010，S10a111010，所以m1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是2020S10+a112a111，得，所以a111010.当a111010时，A1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010满足题意，所以当SA2020时，n的最小值为11，此时an的最大值1010.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.
