《广东省广州市狮岭中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《广东省广州市狮岭中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、广东省广州市狮岭中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设集合M=y|y=2x, x0, N=y|y=, 0x1,则xM是xN的()A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案:A2. 过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2()A2 B C4 D参考答案:D 略3. 若,则下列不等式中成立的是A B C D参考答案:C4. 已知点是椭圆上的任意一点,若为线段中点,则点的轨迹方程是 (
2、 )A B C D 参考答案:A5. 某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资与居民人均消费进行统计调查, 与具有相关关系,回归方程(单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为( )A. 66% B. 72.3% C. 67.3% D. 83%参考答案:D6. 两个等差数列则-= ( )A. B.7 c. D. 参考答案:D7. 在ABC中,AB,AC1,B30,则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或参考答案:D8. 对于两个复数,有下列四个结论:;,其中正确的结论的个数为( )A.l B. 2 C. 3 D.4参考答案:C9. 平面
3、上有四个互异的点A、B、C、D,满足()()0,则三角形ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形参考答案:B10. 复数等于()A4iB4iC2iD2i参考答案:C【考点】复数代数形式的混合运算【分析】化简分式,分子、分母分别平方,化简可得结果【解答】解:故选C【点评】复数代数形式的运算,是基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆+=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是参考答案:【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出Q的坐标,利用对称知识,集合椭圆方程推出椭圆几何
4、量之间的关系,然后求解离心率即可【解答】解:设Q(m,n),由题意可得,由可得:m=,n=,代入可得:,解得e2(4e44e2+1)+4e2=1,可得,4e6+e21=0即4e62e4+2e4e2+2e21=0,可得(2e21)(2e4+e2+1)=0解得e=故答案为:【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力12. 的导数是 参考答案:0略13. 参考答案:914. 已知ABC的三边长为a,b,c,内切圆半径为r(用SABC表示ABC的面积),则SABC=r(a+b+c);类比这一结论有:若三棱锥ABCD的内切球半径为R,则三棱锥体积VABCD= 参考答案:【分析】类
5、比推理的运用,本题属于升维类比,面类比为体,线类比为面,点类比为线,三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球【解答】解:连接内切球球心与各切点,将三棱锥分割成四个小棱锥,它们的高都等于R,底面分别为三棱锥的各个面,它们的体积和等于原三棱锥的体积即三棱锥体积VABCD=故应填15. 已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影为M,点A的坐标为,则|PA|+|PM|的最小值是参考答案:【考点】K8:抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程,延长PM交准线于H点,由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,故|PM|+|PA|=|PF|+|PA|,由|PF|+|PA|FA
6、|可得所求的最小值为|FA|利用两点间的距离公式求得|FA|,即可得到|最小值|FA|的值【解答】解:依题意可知焦点F(,0),准线 x=,延长PM交准线于H点,则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,|PM|=|PH|=|PF|PM|+|PA|=|PF|+|PA|,我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可由三角形两边长大于第三边可知,|PF|+|PA|FA|,当点P是线段FA和抛物线的交点时,|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|,利用两点间的距离公式求得|FA|=5则所求为|PM|+|PA|=5=故答案为:【点评】本题主要考查了抛物线的定义和简单性质,考查了考生分析问题的能力,数形结合的
7、思想的运用16. 已知命题则是_;参考答案:17. 将二进制数化为十进制数,结果为_参考答案:45三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 的三个内角成等差数列,求证:参考答案:证明:要证原式,只要证 即只要证而 19. 已知函数f(x)=2ax3+bx2-6x在x=1处取得极值(1) 讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2) 试求函数f(x)在x=2处的切线方程;(3) 试求函数f(x)在区间3,2 上的最值。参考答案:(1)f(x)=2x36x; 故f(1)=4是极小值,f(1)=4是极大值(2).切线方程是18xy+32
8、=0 (3) .最大值为f(1)=f(2)=4, 最小值为f(3)=3620. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?参考答案:解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.-2分故长方体的体积为-4分从而-6分令V(x)0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.-7分当0x1时,V(x)0;当1x时,V(x)0,-9分故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。从而最大体积V912-613=3(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.-11分答:当长
9、方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。-12分略21. 设函数f(x)=lnx,g(x)=(m0)(1)当m=1时,函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线互相垂直,求n的值;(2)若函数y=f(x)g(x)在定义域内不单调,求mn的取值范围;(3)是否存在实数a,使得f()?f(eax)+f()0对任意正实数x恒成立?若存在,求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】(1)分别求出f(x)、g(x)的导数,求得在x=1处切线的斜率,由两直线垂直的条件,解方
10、程即可得到n;(2)求出y=f(x)g(x)的导数,可得,得的最小值为负,运用基本不等式即可求得mn的范围;(3)假设存在实数a,运用构造函数,求出导数,求得单调区间和最值,结合不等式恒成立思想即有三种解法【解答】解:(1)当m=1时,y=g(x)在x=1处的切线斜率,由,y=f(x)在x=1处的切线斜率k=1,n=5(2)易知函数y=f(x)g(x)的定义域为(0,+),又,由题意,得的最小值为负,m(1n)4,由m0,1n0,m+(1n)4或m+1n4(舍去),mn3;(3)解法一、假设存在实数a,使得f()?f(eax)+f()0对任意正实数x恒成立令(x)=,其中x0,a0,则(x)=
11、,设,(x)在(0,+)单调递减,(x)=0在区间(0,+)必存在实根,不妨设(x0)=0,即,可得(*)(x)在区间(0,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减,所以(x)max=(x0),(x0)=(ax01)?ln2a(ax01)?lnx0,代入(*)式得,根据题意恒成立又根据基本不等式,当且仅当时,等式成立即有,即ax0=1,即代入(*)式得,即,解得解法二、假设存在实数a,使得f()?f(eax)+f()0对任意正实数x恒成立令(x)=ax?ln2aax?lnx+lnxln2a=(ax1)(ln2alnx),其中x0,a0根据条件对任意正数x恒成立,即(ax1)(ln2alnx)
12、0对任意正数x恒成立,且,解得且,即时上述条件成立,此时解法三、假设存在实数a,使得f()?f(eax)+f()0对任意正实数x恒成立令(x)=ax?ln2aax?lnx+lnxln2a=(ax1)(ln2alnx),其中x0,a0要使得(ax1)(ln2alnx)0对任意正数x恒成立,等价于(ax1)(2ax)0对任意正数x恒成立,即对任意正数x恒成立,设函数,则(x)的函数图象为开口向上,与x正半轴至少有一个交点的抛物线,因此,根据题意,抛物线只能与x轴有一个交点,即,所以22. 设f(x)= ,若0a1,试求: (1)f(a)+f(1-a)的值; (2) f( )+f( )+f( )+f( )的值. 参考答案:(1)f(a)+f(1-a)= + = + = + = + = =1. (2)f( )+f( )+f( )+f( ) =f( )+f( )+f( )+f( )+f( )+f( )=5001=500.