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1、辽宁省朝阳市蒙古族第四高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于函数f(x)=x3cos3(x+)，下列说法正确的是 （ ） Af(x)是奇函数且在（）上递减 B f(x)是奇函数且在（）上递增C f(x)是偶函数且在（）上递减 Df(x)是偶函数且在（）上递增参考答案：C2. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,O为坐标原点，M为PF 的中点，则 与的大小关系为 ( ) A BC D.不能确定参考答案：B略3. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断
2、框图可填入的条件是（）As Bs Cs Ds参考答案：C考点：循环结构 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S故选：C点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键4. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）A. B CD参考答案：C5. 甲、乙、丙3位志愿者
3、安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有（ ）A20种 B30种 C40种 D60种参考答案：A略6. 函数在区间内的零点个数是 A0 B1 C2 D3参考答案：B7. 若,则函数的两个零点分别位于区间( )A.和内 B.和内 C.和内 D.和内参考答案：A略8. 已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）2af（x）+a1=0（aR）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（）A（1，）B（1，+）C（，2）D（，+）参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】将函数f（x）表示为分段函数形式，判断
4、函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可【解答】解：当x0时，f（x）=，函数的导数f（x）=，当x1时，f（x）0，当0x1时，f（x）0，则当x=1时 函数取得极小值f（1）=e，当x0时，f（x）=，函数的导数f（x）=，此时f（x）0恒成立，此时函数为增函数，作出函数f（x）的图象如图：设t=f（x），则te时，t=f（x）有3个根，当t=e时，t=f（x）有2个根当0te时，t=f（x）有1个根，当t0时，t=f（x）有0个根，则f2（x）2af（x）+a1=0（mR）有四个相异的实数根，等价为t22at+a1=0（mR）
5、有2个相异的实数根，其中0te，te，设h（t）=t22at+a1，则，即，即，即a，即实数a的取值范围是（，+），故选：D9. 下列关系式中正确的是（ ）A B C D参考答案：C10. 中,、C对应边分别为、.若,且此三角形有两解,则的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 参考答案：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在上的奇函数，则常数_参考答案：012. 在的展开式中，常数项为 参考答案：5【考点】二项式定理的应用【分析】的展开式中的通项公式：Tr+1=（1）4r（r=0，1，2，3，4）的通项公式：Tk+1=（1）kxr2k，令r2k=0，即r=2
6、k进而得出【解答】解：的展开式中的通项公式：Tr+1=（1）4r（r=0，1，2，3，4）的通项公式：Tk+1=（1）kxr2k，令r2k=0，即r=2kr=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2常数项=1+1=5故答案为：513. 若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.参考答案：略14. 有下列各式：1+1，1+，1+2，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为： 参考答案：【考点】归纳推理【分析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+11项，不等式右侧分别写成，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子【解答】解：观察各式左边为的和
7、的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+11项，不等式右侧分别写成，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：故答案为：【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力15. 命题“对任意xR，都有x20”的否定是 参考答案：存在,使.16. 则函数的零点个数为参考答案：817. 已知是定义在R上的奇函数，当时，则不等式组的解集用区间表示为 参考答案：(5,0)由是定义在上的奇函数，当时，解得三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数的最小正周期是(I)求的单调递增区间；
8、()求在，上的最大值和最小值参考答案：19. 已知数列an的前n项和Sn，a1=，Sn+（n2）（1）计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明；（2）设bn=，数列的bn的前n项和为Tn，求证：Tn参考答案：考点：数学归纳法；数列与不等式的综合 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用已知条件计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法证明步骤证明即可；（2）化简bn=，利用裂项法求解数列的bn的前n项和为Tn，即可证明Tn解答：（本小题满分12分）解：（1）因为an=SnSn1（n2），所以，由此整理得，于是有：，猜想：证明：当n=1时，猜想成立假设n=k
9、时猜想成立，即，那么，所以当n=k+1时猜想成立，由可知，猜想对任何nN*都成立（2）由（1），于是：，又因为，所以点评：本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求20. 计算（满分12分）（1）（2）参考答案： 21. 永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制（最低1分，最高3分），若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，得到统计结果如下表，若从这20件产品中
10、随机抽取1件x作品数y 创 新 性1分2分3分实用性1分2022分1413分226（1）求事件A：“x2且y2”的概率；（2）设为抽中作品的两项得分之和，求的数学期望参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）确定事件A：“x2且y2”的作品数量，即可求得概率；（2）方法一：分别求出“创新性”、“实用性”得分的分布列与期望，即可求得的数学期望；方法二：确定作品的总得分的可能取值，求出其分布列，即可求得的数学期望解答：解：（1）从表中可以看出，事件A：“x2且y2”的作品数量为7件，故“x2且y2”的概率为 （5分）（
11、2）方法一：由表可知“创新性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分x的分布列为：x123p则“创新性”得分的数学期望为Ex=； （8分）“实用性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件，“实用性”得分y的分布列为：y123p故“实用性”得分的数学期望为Ey=（10分）所以数学期望E=E（x+y）=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5 （12分）方法二：作品的总得分的可能取值为（2分），（3分），（4分），（5分），（6分），由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件，（8分）则作品的总得分的分布列为：（10分）23456P所以数学期望为E=（12分）点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题22. 已知函数，其中.（1）若是函数的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的（e为自然对数的底数，都有成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）由已知，所以 因为是函数的极值点，所以，即，因为，所以.（2）对任意的都有成立，即恒成立，因为，且，且时，所以函数在上是增函数，由，得，又，不合题意. 当时，若，则，若，则，函数在上是减函数，在上是增函数，由，得，又， 当且x时，函数在上是减函数，由，得，又， 综上所述，的取值范围为.
