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1、湖南省长沙市善山岭中学2022年高二数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某成品的组装工序图如右，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是（ ）A11 B13 C15 D17参考答案：B2. 在等差数列an中，则a1=（ ）A1 B2 C1 D2参考答案：D3. 双曲线的一个焦点是，则m的值是_.参考答案：-24. 若不等式在上有解,则的取值范围是 （ ） A B. C D参考答案：C5. 等差数列an中，
2、已知a1，a2+a54，an33，则n为A50 B49 C48 D47参考答案：C6. 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（ ）A B C D 1 参考答案：B7. 若实数满足的取值范围为（ ）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：令，即，表示一条直线；又方程可化为，表示圆心为，半径的圆；由题意直线与圆有公共点，圆心到直线的距离，即的取值范围为.故选A.考点：可转化为直线与圆的位置关系的问题.8. 已知复数z满足 (i为虚数单位)，则z的虚部为（ ）Ai B1 Ci D 1参考答案：D9. 如果实数x,y满足等式(x2)2+y2=3，那么的最大值是（ ）A B
3、C D参考答案：D略10. 设全集U=1，2，3，4，5，6A=1，2，B=2，3，4，则A（?UB）=( )A1，2，5，6B1C2D1，2，3，4参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】进行补集、交集的运算即可【解答】解：?RB=1，5，6；A（?RB）=1，21，5，6=1故选：B【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_.参考答案：略12. 已知函数，则a= .参考答案：13. 命题“存在xR，x2+2ax+10”为假命题，则
4、a的取值范围是 参考答案：1，1【考点】命题的真假判断与应用【分析】命题“存在xR，x2+2ax+10”为假命题?命题“?xR，x2+2ax+10”为真命题【解答】解：命题“存在xR，x2+2ax+10”为假命题?命题“?xR，x2+2ax+10”为真命题=4a240?1a1故答案为：1，114. 若A=1,4, x,B=1,x2且AB=B，则x=_.参考答案：0，2或-215. 动圆M过点（3，2）且与直线y=1相切，则动圆圆心M的轨迹方程为参考答案：x26x2y+12=0【考点】轨迹方程【分析】设出圆的坐标，利用已知条件列出方程求解即可【解答】解：设动圆圆心M（x，y），动圆M过点（3，2
5、）且与直线y=1相切，可得：，化简可得x26x2y+12=0则动圆圆心M的轨迹方程为：x26x2y+12=0故答案为：x26x2y+12=016. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.参考答案：17. 若圆C的半径为1，其圆心与点(0,1)关于直线对称，则圆C的标准方程为_参考答案：解：关于的对称点为，则圆心为半径为，故标准方程为三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（1）求角C的大小：（2）若c,且ABC的面积为,求ab的值。参考答案：（1）由及正弦定理
6、得，是锐角三角形，（2）由面积公式得由余弦定理得由变形得19. 如图，四面体ABCD中,ABC是正三角形，ACD是直角三角形，（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.参考答案：(1)证明见解析；(2) .【分析】（1）利用题意，证得二面角为90，即可得到平面ACD平面ABC；（2）建立适当的空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值。【详解】（1）由题意可得，,从而，又是直角三角形，所以，取AC的中点O，连接DO，BO，则，又由是正三角形，所以，所以是二面角的平
7、面角,在直角中，又，所以，故 ，所以平面平面。（2）由题设及（1）可知,两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得 .故,设是平面的法向量，则，即，令，则，即平面的一个法向量，设是平面的法向量，则，可得平面的一个法向量，则，即二面角的余弦值为。【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的定义及应用，以及利用空间向量求解二面角的计算，对于立体几何中空间角的计算问题，往往可以利用空间向量法求解，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式得以求解，同时解答中要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所
8、求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。20. (本小题满分14分)已知函数(为自然对数的底数，为常数）对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线（）若，求的极值；（）讨论函数的单调性；（）设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由参考答案：（）若，则， 1分由得又得； 得，在单调递增，在单调递减；在处取得极大值,无极小值 3分（），4分当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数：6分当时，对恒成立，此时函数是区间上的增函数；7分当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数9分（）若存
9、在，则恒成立，令，则，所以， 11分因此：对恒成立，即对恒成立，由得到， 12分现在只要判断是否恒成立， 设，则，当时，当时， 13分所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”，且方程为14分21. 如图,在三棱锥ABCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边,且AD,BDCD1,另一个侧面ABC是正三角形（1）求证：ADBC；（2）求二面角BACD的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30o角？若存在，确定CE大小；若不存在，说明理由参考答案：(1)坐标法，以D为原点，直线DB，DC为x，y轴，1分可得 ADBC 4分(2) 平面ABC、ACD的
10、法向量取n1(1，1，1)、n2(1，0，1)，可得cos. 8分(3)存在，CE1设E(x，y，z)可得(x，1，x)，又面BCD的一个法向量为n(0，0，1)，由coscos 60o，得x. (，0，) CE112分Ks5u略22. 复数z=（1+i）m2+（310i）m（49i），（其中 i为虚数单位，mR），（1）当m=0时，求复数z的模； （2）当实数m为何值时复数z为纯虚数；（3）当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限？参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】由已知整理得：z=（1+i）m2+（310i）m（49i）=（m2+3m4）+（m210m+9）i（1）当m=0时，z=4+9i，利用模的计算公式即可得出|z|（2）当，解出即可得出复数z为纯虚数（3）当，解出即可得出【解答】解：由已知整理得：z=（1+i）m2+（310i）m（49i）=（m2+3m4）+（m210m+9）i（1）当m=0时，z=4+9i，|z|=（2）当，即m=4，复数z为纯虚数 （3）当，即，即4m1时，复数z在复平面内对应的点在第二象限
