《湖南省长沙市同升湖实验学校2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湖南省长沙市同升湖实验学校2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省长沙市同升湖实验学校2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设集合,则( )A B C D参考答案:C试题分析:因为,所以,则由有,所以有,则,选C.考点:1.集合的运算;2.绝对值不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了绝对值不等式的解法,指数不等式的解法,集合的基本运算,属于易错题. 形如绝对值不等式的解,把看成一个整体,得到,再求出的范围,就得到的解;对于,利用指数函数的单调性解题,还要注意集合的交集不要与并集弄混淆了.2. 已知函数f(x)=sin(x+)(0,|)
2、的最小正周期为4,且其图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sinx的图象,则等于()ABCD参考答案:C【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换;由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式【分析】利用三角函数的周期性求得的值,再根据函数y=Asin(x+)的图象变换规律,求得的值【解答】解:f(x)=sin(x+)(0,|)的最小正周期为4,=4,=,f(x)=sin(x+)且其图象向右平移个单位后得到函数y=sin(x)+=sin(x+)=g(x)=sinx的图象,则=,故选:C3. 已知函数,若有4个零点,则a的取值范围为( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】由题意可得x
3、=0为1个零点,只需要x0时,即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0,作出y的图象,即可得出结论【详解】当x=0时,g(0)=f(0)-0=0,当时,由题意可得,即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0,令h(x)=,则h(x)=,则x=,且在(0,)单增,在()上单减,y的大致图像如图:又h()=若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0,则,故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点,考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了分析转化问题的能力,属于中档题4. 已知(e为自然对数的底数),直线l是的公切线,则直线l的方程为A. B. C. D. 参考答案:C设切点分别为、,整理得解得或,所
4、以切线方程为或,故选C.5. 如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 ( )A B C D参考答案:B6. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式为 ( )A. B. C. D.参考答案:D7. 在区间0,1上随机取两个数x,y,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,则( )A. B. C. D. 参考答案:B由题意知,事件“”的概率为,事件“”的概率,其中,所以,故应选考点:本题考查几何概型和微积分基本定理,涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的
5、区域8. 已知复数,则的虚部为( )A B C D参考答案:B略9. 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增参考答案:B10. 等比数列中,函数,则( )A26 B29 C. 212 D215参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是奇函数,则 参考答案:12. 定义在R上的奇函数满足则= 参考答案:13. 在的内角、的对边分别为、,若,则 .参考答案:4略14. 某校今年计划招聘女教师x人,男教师y人,若x、y满足,则该学校今年计划招聘教师最多人参考答案:10【考点】
6、简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域,则目标函数为z=x+y,利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解:设z=x+y,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x+y得y=x+z,平移直线y=x+z,由图象可知当直线y=x+z经过点A时,直线y=x+z的截距最大,此时z最大但此时z最大值取不到,由图象当直线经过整点E(5,5)时,z=x+y取得最大值,代入目标函数z=x+y得z=5+5=10即目标函数z=x+y的最大值为10故答案为:1015. 四棱锥中,平面ABCD,BC/AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角的平面角大小为,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分,则=_参
7、考答案:16. 如图,在半径为r的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若,且点D在圆C上,则_参考答案:【分析】由向量加法的概念以及可得四边形为菱形,且,再由向量数量积的定义即可得结果.【详解】,四边形为平行四边形,又,故答案为:.【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则,向量数量积的运算,得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键,属于基础题.17. 已知函数f(x)=,则ff= 参考答案:1【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数,由里及外求解所求表达式的值【解答】解:函数f(x)=,则ff=f=f(1913)=2cos=2cos(638)
8、=2cos=1故答案为:1【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,诱导公式的应用,考查计算能力三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (14分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)为奇函数;(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)0,即f(3)f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)知f(x)是奇函数.所以有f(k3x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),即k3x0对任意xR成立.令t=3x0,问题等价于
9、t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立.令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴.当0即k0,符合题意;当=0即k=-1时,g(t)=t2+2,对任意t0,g(t)0恒成立;当0时,对任意t0,g(t)0恒成立,解得-1k-1+,综上所述当k-1+时,f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR恒成立【解析】略19. (本小题满分12分)如图,在三棱柱 中,侧棱 底面ABC,AB BC,D为AC的中点, =AB=2,BC=3.( I)求证: 平面 ;()求三棱锥 的体积 参考答案:20. 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B为边长为2的正方形,四边形BB1C1C为
10、菱形,BB1C1=60,平面AA1B1B平面BB1C1C,点E、F分别是B1C,AA1的中点(1)求证:EF平面ABC;(2)求二面角BAC1C的余弦值参考答案:【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定【分析】(1)取BB1的中点H,连结EH,FH,推导出平面ABC平面EHF,由此能证明EF平面ABC(2)以B为坐标原点,分别为x轴,y轴正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角BAC1C的余弦值【解答】证明:(1)取BB1的中点H,连结EH,FH,点E、F分别是B1C,AA1的中点,EHBC,FHAB,ABBC=B,EHFH=H,AB,BC?平面ABC,EH,FH?平面EH
11、F,平面ABC平面EHF,EF?平面EHF,EF平面ABC解:(2)以B为坐标原点,分别为x轴,y轴正方向,建立空间直角坐标系,由题意知A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,1,),C1(0,1,),=(2,0,0),=(0,1,),=(2,1,),=(2,1,),设平面BAC1的法向量=(x,y,z),则,取z=1,得=,设平面AC1C的法向量=(x,y,z),则,取z=2,得=,设二面角BAC1C的平面角为,则cos=二面角BAC1C的余弦值为21. 已知函数有两个极值点x1,x2,(1)求实数a的取值范围;(2)若,证明:当时,参考答案:解:(1)的定义域为,.函数在有两个极值点等
12、价于函数在上有两个零点, , .(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足,所以,当时,则.由于,所以等价于.设函数,则恒成立,在单调递减,又,从而当时,.,即. 从而成立,即.22. (本题满分12分)如图1,在直角梯形中, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.() 求证:平面;() 求二面角的余弦值.参考答案:解法一:()在图1中,可得,从而,故 -3分面面,面面,面,从而平面6分()取的中点,的中点,连结,解法二: ()在图1中,可得,从而,故 2分取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,4分 又,平面 6分()建立空间直角坐标系如图所示,则,8分设为面的法向量,则即,解得令,可得10分又为面的一个法向量二面角的余弦值为.12分