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1、湖南省长沙市同升湖实验学校2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A B C D参考答案：C试题分析：因为,所以,则由有,所以有,则,选C.考点：1.集合的运算；2.绝对值不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了绝对值不等式的解法,指数不等式的解法,集合的基本运算,属于易错题. 形如绝对值不等式的解,把看成一个整体,得到,再求出的范围,就得到的解；对于,利用指数函数的单调性解题,还要注意集合的交集不要与并集弄混淆了.2. 已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）
2、的最小正周期为4，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinx的图象，则等于（）ABCD参考答案：C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】利用三角函数的周期性求得的值，再根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得的值【解答】解：f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，=4，=，f（x）=sin（x+）且其图象向右平移个单位后得到函数y=sin（x）+=sin（x+）=g（x）=sinx的图象，则=，故选：C3. 已知函数，若有4个零点，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】由题意可得x
3、=0为1个零点，只需要x0时，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=,则h（x）=，则x=，且在（0，）单增，在（）上单减，y的大致图像如图：又h()=若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题4. 已知（e为自然对数的底数），直线l是的公切线，则直线l的方程为A. B. C. D. 参考答案：C设切点分别为、，整理得解得或，所
4、以切线方程为或，故选C.5. 如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）A B C D参考答案：B6. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为 ( )A. B. C. D.参考答案：D7. 在区间0,1上随机取两个数x，y，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：B由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率，其中，所以，故应选考点：本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的
5、区域8. 已知复数，则的虚部为（ ）A B C D参考答案：B略9. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增参考答案：B10. 等比数列中，函数，则（ ）A26 B29 C. 212 D215参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是奇函数，则 参考答案：12. 定义在R上的奇函数满足则= 参考答案：13. 在的内角、的对边分别为、，若，则 .参考答案：4略14. 某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人参考答案：10【考点】
6、简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：设z=x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，代入目标函数z=x+y得z=5+5=10即目标函数z=x+y的最大值为10故答案为：1015. 四棱锥中，平面ABCD，BC/AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则=_参
7、考答案：16. 如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_参考答案：【分析】由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.【详解】，四边形为平行四边形，又，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键，属于基础题.17. 已知函数f（x）=，则ff= 参考答案：1【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值【解答】解：函数f（x）=，则ff=f=f（1913）=2cos=2cos（638）
8、=2cos=1故答案为：1【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)为奇函数；（2）若f(k3x)+f(3x-9x-2)0,即f(3)f(0),又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)知f(x)是奇函数.所以有f(k3x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),即k3x0对任意xR成立.令t=3x0,问题等价于
9、t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立.令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴.当0即k0,符合题意；当=0即k=-1时，g(t)=t2+2,对任意t0,g(t)0恒成立；当0时，对任意t0，g(t)0恒成立,解得-1k-1+,综上所述当k-1+时，f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR恒成立【解析】略19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面ABC，AB BC，D为AC的中点， =AB=2，BC=3.( I)求证： 平面 ;()求三棱锥 的体积 参考答案：20. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为边长为2的正方形，四边形BB1C1C为
10、菱形，BB1C1=60，平面AA1B1B平面BB1C1C，点E、F分别是B1C，AA1的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求二面角BAC1C的余弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）取BB1的中点H，连结EH，FH，推导出平面ABC平面EHF，由此能证明EF平面ABC（2）以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BAC1C的余弦值【解答】证明：（1）取BB1的中点H，连结EH，FH，点E、F分别是B1C，AA1的中点，EHBC，FHAB，ABBC=B，EHFH=H，AB，BC?平面ABC，EH，FH?平面EH
11、F，平面ABC平面EHF，EF?平面EHF，EF平面ABC解：（2）以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意知A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，1，），C1（0，1，），=（2，0，0），=（0，1，），=（2，1，），=（2，1，），设平面BAC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=，设平面AC1C的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=，设二面角BAC1C的平面角为，则cos=二面角BAC1C的余弦值为21. 已知函数有两个极值点x1，x2，（1）求实数a的取值范围；（2）若，证明：当时，参考答案：解：（1）的定义域为，.函数在有两个极值点等
12、价于函数在上有两个零点， ， .（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，当时，则.由于，所以等价于.设函数，则恒成立，在单调递减，又，从而当时，.，即. 从而成立，即.22. （本题满分12分）如图1,在直角梯形中, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.参考答案：解法一：（）在图1中,可得,从而,故 -3分面面,面面,面,从而平面6分（）取的中点，的中点,连结,解法二: （）在图1中,可得,从而,故 2分取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,4分 又,平面 6分（）建立空间直角坐标系如图所示,则,8分设为面的法向量,则即,解得令,可得10分又为面的一个法向量二面角的余弦值为.12分
