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1、湖南省长沙市双江口中学高一数学文期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 正三角形ABC的边长为1,设,那么的值是 ( )A、 B、 C、 D、参考答案:B2. 如果偶函数在区间上是减函数且最大值为,那么在区间上是( )A增函数且最小值是B减函数且最大值是C增函数且最大值是D减函数且最小值是参考答案:C因为是偶函数,所以的图像关于轴对称,在区间是减函数且最大值是,在区间上是增函数且最大值是,故选3. 已知函数若则实数的取值范围是A、 B、 C、 D、参考答案:C略4. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象(
2、) A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位参考答案:C略5. 非零向量,满足|=|,且()(3),则与夹角的大小为()ABCD参考答案:C【分析】利用两个向量垂直的性质,两个向量数量积的定义,求得与夹角的余弦值,可得与夹角【解答】解:设与夹角的大小为,则0,|=|,且()(3),()?(3)=4?+3=34?cos+3=0,cos=,=,故选:C6. 已知向量与向量满足|=3,|=2,|=2,则与的夹角为()ABCD参考答案:C【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】设与的夹角为,由条件利用两个向量的数量积的定义,求得cos的值,可得的值【解答】解:设与的夹角为,|
3、=3,|=2,|=2,4+4+=413,即49+432cos+4=413,求得cos=,=,故选:C7. 已知圆C与直线xy0 及xy40都相切,圆心在直线xy0上,则圆C的方程为 ( )A、 B、 C、 D、 参考答案:B8. = A、 B、 C、 D、参考答案:A略9. 函数的最小正周期为( )(A) (B) (C) (D)参考答案:A略10. 长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为()A25B200C100D50参考答案:D【考点】球的体积和表面积【分析】利用长方体的八个顶点都在球O的球面上,则长方体的体对角线为外
4、接球的直径,求出球的半径即可求出球的表面积【解答】解:长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点都在球O的球面上,长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则长方体的体对角线长为=5,则2r=5,则r=外接球的表面积为4r2=4()2=50故选:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设全集U=1,2,3,4,且A=x|x27xm0,xU,若U A=1,2,则m= 。参考答案:1212. 函数y=loga(2x3)+4的图象恒过定点M,且点M在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= 参考答案:9【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】由loga1=0得2x3=1,求出x的值
5、以及y的值,即求出定点的坐标再设出幂函数的表达式,利用点在幂函数的图象上,求出的值,然后求出幂函数的表达式即可得出答案【解答】解:loga1=0,当2x3=1,即x=2时,y=4,点M的坐标是P(2,4)幂函数f(x)=x的图象过点M(2,4),所以4=2,解得=2;所以幂函数为f(x)=x2则f(3)=9故答案为:9【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用loga1=0,考查求幂函数的解析式,同时考查了计算能力,属于基础题13. 已知集合,那么集合 .参考答案:14. 参考答案:略15. 在数列an中,且满足,则_参考答案:【分析】对递推式两边同时取倒数可得数列是以为首项,公差为的等
6、差数列,求出的通项公式即可得.【详解】由,可得,可得数列是以为首项,公差为的等差数列,可得,故答案为【点睛】本题主要考查利用数列的特征转变成数列的递推公式形式的,间接的求出所需要的数列通项公式,属于中档题.16. 函数的值域为. 参考答案:17. 已知则 参考答案:-2略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (普通班做)已知直线:与圆O:相交于A、B两点,O是坐标原点,三角形ABO的面积为S.(1)试将S表示成的函数S(k),并求出它的定义域;(2)求S的最大值,并求取得最大值时k的值.参考答案:普通班::如图,(1)直线议程 原点O到的距离为弦
7、长ABO面积(2) 令当t=时, 时, 又解:ABO面积S= 此时即略19. 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)1(其中xR),求:(1)函数f(x)的最小正周期;(2)函数f(x)的单调减区间;(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心参考答案:【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,再利用三角函数的周期性和求法,正弦函数的单调性以及它的图象的对称轴和对称中心,得出结论【解答】解:由于函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)1=2sin2x+2sinxcosx1=1cos2x+sin2x1=2sin(2x),故(1
8、)函数f(x)的最小正周期为=(2)令2k+2x2k+,求得 k+xk+,可得函数f(x)的单调减区间为k+,k+,kZ(3)令 2x=k+,求得x=+,可得函数f(x)图象的对称轴为x=+,kZ;2x=k,求得x=+,可得函数f(x)图象的对称中心为(+,0),kZ20. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差的情况与患感冒就诊的人数,得到如下资料:日期1月10号2月10号3月10号4月10号5月10号6月10号昼夜温差x()1011131286就诊人数y(人)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是先从
9、这6组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选出的2组数据进行检验.(1)若选取的是1月和6月的两组数据,请根据2月至5月的数据求出y关x于的线性回归方程;(2)若由线性回归方程得到的估计数,与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的.试问:该小组所得的线性回归方程是否理想?附;参考答案:(1);(2)该小组所得线性回归方程是理想的分析:(1)先求均值,代入公式求,根据求,(2)根据线性回归方程得到的估计数据,再与所选出的检验数据的作差,与2比较,根据结果作判断.详解:(1)由数据求得11,24, 由公式求得b, 再由ab,得y关于x的线性回归方程为
10、x (2)当x10时,|22|2; 同样,当x6时,|12|2,所以,该小组所得线性回归方程是理想的 点睛:函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关,则直接根据用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.21. 在ABC中,cosA=,cosB=,(1)求sinA,sinB,sinC的值 (2)设BC=5,求ABC的面积参考答案:【考点】HP:正弦定理;HQ:正弦定理的应用【分析】(1)根据cosB,cosA的值可分别求得sinA,sinB的值,继而根据sinC=sin(A+B)利用两角和
11、公式求得sinC的值(2)先根据正弦定理求得AC的值,最后根据三角形面积公式求得答案【解答】解:(1)sinA=,sinB=,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(2)由正弦定理知=,AC=?sinB=,SABC=BC?AC?sinC=5=22. 已知定义域为R的函数在1,2上有最大值1,设 (1)求m的值;(2)若不等式在上恒成立,求实数k的取值范围;(3)若函数有三个不同的零点,求实数k的取值范围(e为自然对数的底数)参考答案:(1)0;(2);(3)【分析】(1)结合二次函数的性质 可判断g(x)在1,2上的单调性,结合已知函数的最大值可求m;(2)由(1)可
12、知f(x),由原不等式可知2k1在x3,9上恒成立,结合对数与二次函数的性质可求;(3)原方程可化为|ex1|2(3k+2)|ex1|+(2k+1)0,利用换元q|ex1|,结合二次函数的 实根分布即可求解【详解】(1)因为在上是增函数, 所以,解得 (2)由(1)可得:所以不等式在上恒成立等价于在上恒成立令,因为,所以则有在恒成立令,则 所以,即,所以实数的取值范围为 (3)因为令,由题意可知 令,则函数有三个不同的零点等价于在有两个零点,当 ,此时方程,此时关于方程有三个零点,符合题意;当 记为,且, 所以,解得综上实数的取值范围 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性的应用,不等式中的恒成立问题与最值的相互转化,二次函数的实根分布问题等知识的综合应用,是中档题