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1、湖南省长沙市县第二中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知集合Axx2x20, Bxx0,则ABA. x1x0 B. x1x0 C. x2x0 D. x2x0参考答案:B2. 直线l是抛物线在点(2,2)处的切线,点P是圆上的动点,则点 P到直线l的距离的最小值等于A.0 B. C. 2 D. 参考答案:C,所以圆心(2,0)到的距离是.所以最小值是.故选C.3. 已知数列an,bn,满足a1=b1=3,an+1an=3,nN*,若数列cn满足cn=b,则c2017=()A92016B2720
2、16C92017D272017参考答案:D【考点】数列递推式【专题】计算题;转化思想;定义法;等差数列与等比数列【分析】本题可先等差数列an和等比数列bn的通项,再利用数列cn的通项公式得到所求结论【解答】解:数列an,满足a1=3,an+1an=3,nN*,an=a1+(n1)d=3+3(n1)=3n数列bn,满足b1=3,=3,nN*,bn=b1qn1=33n1=3n数列cn满足cn=b,c2017=b32017=272017故选D【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项,再用通项公式求出新数列中的项,本题思维量不大,属于基础题4. 如果执行右面的程序框图,则输出的结果
3、是A2 B3C D 参考答案:C5. 已知函数f(x)=sin2x2cos2x,下面结论中错误的是()A函数f(x)的最小正周期为B函数f(x)的图象关于x=对称C函数f(x)的图象可由g(x)=2sin2x1的图象向右平移个单位得到D函数f(x)在区间0,上是增函数参考答案:C【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象【专题】函数思想;数形结合法;三角函数的图像与性质【分析】由三角函数公式化简可得f(x)=2sin(2x)1,由三角函数的图象和性质,逐个选项验证可得【解答】解:f(x)=sin2x2cos2x=sin2x1cos2x=2sin(2x)1,由周期公式可得T=,选项A正确;
4、由2x=k+可得x=+,kZ,故当k=0时,可得函数一条对称轴为x=,选项B正确;g(x)=2sin2x1的图象向右平移个单位得到y=2sin2(x)1=2sin(2x)1的图象,而不是f(x)=2sin(2x)1的图象,选项C错误;由k2xk+可得kxk+,kZ,函数的单调递增区间为k, k+,显然f(x)在区间0,上是增函数,选项D正确故选:C【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的图象和性质,属中档题6. 参考答案:C7. 已知数列满足:,则( )A、 B、 C、 D、参考答案:B8. 设i是虚数单位,复数12i的虚部是()A2B2C2iD2i参考答案:A【考点】复数的基本概念【
5、分析】根据复数虚部的定义即可得出【解答】解:复数12i的虚部是2故选;A9. 若,则( )参考答案:C10. 若在区间上随机取一个数k,则“直线与圆相交”的概率为( )A B C D 参考答案:C若直线与圆相交,则,解得或,又所求概率,故选C.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的部分图象如图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,则 参考答案:-212. 已知集合A=1,0,1,6,则AB=_.参考答案:1,6【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知,.【点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.13. 设函数,集合,且在直角坐标系中,集合所表示的
6、区域的面积为_参考答案:因为,所以由得,即,它表示以为圆心,半径为的圆面。由得,即,整理得,即或,显然的交点为,且两直线垂直,所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积,所以集合所表示的区域的面积为,如图:14. 已知抛物线的焦点为F,则F的坐标为_;过点F的直线交抛物线C于A、B两点,若,则AOB的面积为_参考答案:(1,0) 【分析】由抛物线的标准方程可得焦点的坐标,利用焦半径公式可得的横坐标,求出其纵坐标后可求出直线的方程,联立直线方程和抛物线方程后求出的坐标,最后可求的面积.【详解】由抛物线可得,故焦点坐标(1,0).设,则,故.根据抛物线的对称性,不妨设在第一象限,则,故,故直线.由 可
7、得,故或,所以.故答案为:,.【点睛】本题考查抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算,一般地,抛物线 上的点到焦点的距离为;抛物线 上的点到焦点的距离为.直线与抛物线相交后的交点坐标,一般是联立方程组求解,本题属于中档题.15. 数列的前10项的和等于 参考答案:略16. 如图所示,作一个边长为1的正ABC,且AB与x轴的夹角为5,易知向量和,令与x轴同向的单位向量为i,则有,仿照以上方法,推广以上结论可得,若 则_参考答案:观察正三边形有三项,角度呈等差数列,公差为120公差与多边形内角的补角一一对应,即推广后得到正n边形有n项,角度依旧等差,17. 函数yx2sinx 在
8、(0,2)内的单调增区间为_参考答案:或.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数的最小正周期为.()求的值;()将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,求函数在区间上的最值参考答案::( )-4分,所以-6分()-8分当时,-10分所以; -14分19. 如图所示,四棱锥S-ABCD中,平面SAD平面ABCD,(1)证明:在线段SC上存在一点E,使得ED平面SAB;(2)若AB=AC,在(1)的条件下,求三棱锥S-AED的体积参考答案:解:(1)如图,取的中点,的中点,连接,是的中位线,依题意得,则有,四边形
9、是平行四边形,平面,平面,平面(2)平面平面,平面平面,平面,故平面,是的中点,到平面的距离等于到平面的距离的一半,且平面,三棱锥的高是2,在等腰中,边上的高为,到的距离为,20. 已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(t是参数)(1)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,试求实数m值(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+2y的取值范围参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;摆线在刻画行星运动轨道中的作用【分析】(1)求出圆的圆心和半径,根据垂径定理列出方程解出m;(2)求出曲线C的参数方
10、程,将参数方程代入x+2y得到关于参数得三角函数,使用三角函数的性质得出最值【解答】解:(1)=4cos,2=4cos,曲线C的直角坐标方程为:x2+y24x=0,即(x2)2+y2=4,直线l的直角坐标方程为:y=xm即xym=0|AB|=,圆心到直线l的距离(弦心距)d=即,解得m=1或m=3(2)曲线C的参数方程为:(为参数),M(x,y)为曲线C上任意一点,x+2y=2+2cos+4sin=2+2sin(+)x+2y的取值范围是22,2+221. 如图,在三棱锥中,,为的中点,,=.()求证:平面平面;()求直线与平面所成角的正弦值参考答案:解:()证明:在中,则为直角三角形,所以,又由已知,且是的中点,可得 又,平面又面平面平面(6分)()以点为坐标原点,建立如图 所示直角坐标系,则,设平面的法向量为,则有即解得:,所以,平面的一个法向量为,故直线与平面所成角的正弦值为 (12分)略22. 知数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意的,满足关系式 (I)求数列的通项公式;()设数列的通项公式是,求数列的前项和为参考答案: