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1、湖南省长沙市县第四中学2022年高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题p：:若xy3，则x1或y2；命题q：若b2ac，则a,b,c成等比数列，下列选项中为真命题的是 ( )A pB qC pqD（p）q参考答案：A2. 已知为等比数列，则 （ ）A、B、 C、 D、参考答案：D3. 设，为整数（），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记作，已知，且，则的值可为（ ）A2011 B2012 C2009 D2010参考答案：C 4. 设直线x=t与函数，的图像分别交与点M、N，则当达到最小时
2、t的值为 （ ） A.1 B. C . D. 参考答案：C5. 如果命题“”是真命题，则正确的是（ ）Ap，q均为真命题 Bp，q中至少有一个为假命题Cp，q均为假命题 Dp，q中至多有一个为假命题参考答案：B6. 过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 3条 D. 4条参考答案：C7. 送快递的人可能在早上6：307：30之间把快递送到张老师家里，张老师离开家去工作的时间在早上7：008：00之间，则张老师离开家前能得到快递的概率为（）A12.5%B50%C75%D87.5%参考答案：D【考点】几何概型【分析】根据题意，设送快递人到达的时间为X，张老师离家去工
3、作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案【解答】解：设送快递人到达的时间为X，张老师离家去工作的时间为Y，以横坐标表示快递送到时间，以纵坐标表示张老师离家时间，建立平面直角坐标系，张老师在离开家前能得到快递的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意，只要点落到阴影部分，就表示张老师在离开家前能得到快递，即事件A发生，所以P（A）=87.5%故选：D8. 如图，在等腰直角三角形中，在斜边上找一点，则的概率为（）A B C
4、D参考答案：A9. 已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积的大小为（ ）A. B. 12 C. D. 16参考答案：C略10. 设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g (1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4 B C2D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 凸函数的性质定理为：如果函数在区间上是凸函数，则对于区间内的任意，有,已知函数在区间上是凸函数，则在中，的最大值为_参考答案：12. 抛物线 在点P和Q处的切线斜率分别为1
5、和1，则 。参考答案：解析：设过点p的抛物线的切线方程为yx+b 则由题设知过点Q的抛物线的切线方程为yxb 又设 将代入 由直线与抛物线相切得 由得 由此解得 因此得13. 若函数f（x）=，则f（f（2）= 参考答案：【考点】函数的值；分段函数的应用【分析】由函数f（x）=，将x=2代入计算可得答案【解答】解：函数f（x）=，f（f（2）=f（）=，故答案为：14. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 .参考答案：略15. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有且当时，则 参考答案：e16. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m若水面下降2m，则水
6、面宽度为m参考答案：考点： 抛物线的应用专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 如图所示，建立直角坐标系设抛物线的方程为x2=2py（p0）利用当水面离拱顶2m时，水面宽4m可得B（2，2）代入抛物线方程可得22=2p（2），解得p设D（x，4），代入抛物线方程即可得出解答： 解：如图所示，建立直角坐标系设抛物线的方程为x2=2py（p0）当水面离拱顶2m时，水面宽4mB（2，2）代入抛物线方程可得22=2p（2），解得p=1抛物线的标准方程为：x2=2y设D（x，4），代入抛物线方程可得x2=2（4），解得x=|CD|=4故答案为：4点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结
7、合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题17. 一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分15分）已知定义在R上的函数 ，其中a为常数（1）若是函数 f (x) 的一个极值点，求a的值；（2）讨论函数 f (x)的单调性；（3）当a =时，令求证：当x（0，+）时，（e为自然对数的底数）参考答案：（3）当a =时，f（x）=，要证： ( x 0) ，只需证： (x 0) ，即证设，得F (x) = 11分令F (x) =0，得x =，x = - (
8、 舍去) F（x）在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数 F(x)min = F(x）极小值 = F（）= 14分 F（x）F（x）min = 0，即x2-2elnx0， 原不等式成立 15分19. 已知函数f（x）=1nx（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求证：当x0时，；（）若x1a1nx对任意x1恒成立，求实数a的最大值参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出导函数，求出斜率f（1）=1，然后求解切线方程（）化简=求出，令，解得x=1判断函数的单调性求出极小值
9、，推出结果（）设h（x）=x1a1nx（x1），依题意，对于任意x1，h（x）0恒成立，a1时，a1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可【解答】解：（），f（1）=1，又f（1）=0，所以切线方程为y=x1；（）证明：由题意知x0，令=令，解得x=1易知当x1时，g（x）0，易知当0x1时，g（x）0即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，g（x）g（1）=0即，即x0时，；（）设h（x）=x1a1nx（x1），依题意，对于任意x1，h（x）0恒成立，a1时，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递增，当x1时，h（x）h（1）=0，满足题意
10、a1时，随x变化，h（x），h（x）的变化情况如下表：x（1，a）a（a，+）h（x）0+h（x）极小值h（x）在（1，a）上单调递减，所以g（a）g（1）=0即当a1时，总存在g（a）0，不合题意综上所述，实数a的最大值为1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力20. 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，现将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCDE，F为线段AD的中点(1)求证：EF平面ABC；(2)求直线AB与平面ADE所成角的正切值参考答案：(1)证明：取AC的中点M，连结MF，MB，则FMD
11、C，且FMDC，又EBDC，且EBDC，从而有FM綊EB，所以四边形EBMF为平行四边形，故有EFMB，又EF?平面ABC，MB?平面ABC，所以EF平面ABC.(2)过B作BO垂直于DE的延长线，O为垂足，连结AO，因为平面ADE平面BCDE，且平面ADE平面BCDEDE，所以BO平面ADE，所以BAO就是直线AB与平面ADE所成的角过A作ASDE，S为垂足，因为平面ADE平面BCDE，且平面ADE平面BCDEDE，所以AS平面BCDE，在RtASO中，AS，SO2，所以AO.又BO，所以tanBAO，故直线AB与平面ADE所成角的正切值为.21. （12分）在平面四边形中，向量，）若向量与
12、向量垂直，求实数的值； ）若，求实数，参考答案：解：（）向量与向量垂直2分 5分（）7分9分 ，12分22. 已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项参考答案：【考点】二项式定理的应用【分析】利用展开式项的系数，由已知，求出n，（1）令x=1，得展开后所有项的系数之和 （2）令展开式中x的指数为整数，求出有理项【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出 化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和 为37=2187所有项的二项式系数之和 27=128（2）当为整数时，项为有理项所以r=0，2，4，6有理项分别为 1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3
