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1、湖北省荆门市长林中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（ ）ABCD参考答案：B考点：双曲线试题解析：因为双曲线C：的渐近线方程为所以又所以解得：故双曲线C的方程为：。故答案为：B2. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A.当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，参考答案：B在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为
2、，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B.另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.3. 设复数z满足，则z=（ ）A1+3i B13i C1+3i D13i 参考答案：B复数满足，.故选B.4. 已知双曲线的右焦点为F，P是第一象限C上的点，Q为第二象限C上的点，O是坐标原点，若，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）A B. C D参考答案：B略5. 设定义在上的偶函数满足，且当时，若方程无解，则实数的取值范围是 A B CD参考答案：【知识点】抽象函数及其应用B10 【答案解析】
3、D 解析：由f（x）cosxa=0得f（x）cosx=a，设g（x）=f（x）cosx，定义在R上的偶函数f（x），g（x）也是偶函数，当x0，1时，f（x）=x3，g（x）=x3cosx，则此时函数g（x）单调递增，则g（0）g（x）g（1），即1g（x）1，偶函数f（x）满足f（1x）=f（x+1），f（1x）=f（x+1）=f（x1），即f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，则函数g（x）在R上的值域为1，1，若方程f（x）cosxa=0（a0）无解，即g（x）=f（x）cosx=a无解，则a1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求
4、出函数的最值即可得到结论6. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）A 2 B2 C D参考答案：D7. 设命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数则下列命题中真命题是（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）q参考答案：B【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数，是真命题，命题q：函数f（x）=cosx为奇函数，是假命题，故p（q）是真命题，故选：B【点评】本题考查了复合命题的判断，考查考查函数的奇偶性和单调性，是一道基础题8. 函数在上是减函数，
5、若，则x的范围是（ ） A（0,10） B C D参考答案：C略9. 函数 ，则的图象大致是（ ）A. B. C. D.参考答案：B略10. 甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：?x1x2，f（x1）f（x2），则甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 R上的单调递增函数，则?x1x2，f（x1）f（x2），成立，命题乙成立若：?x1x2，f（x1）f（x2），则不满足函数单
6、调性定义的任意性，命题甲不成立甲是乙成立的充分不必要条件故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线，F为右焦点，右准线与一条渐近线的交点为P，且|OP|、|PF|、|OF|成等差数列，则双曲线的离心率 . 参考答案：答案: 12. 已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合：M=（x，y）|y=； M=（x，y）|y=sinx+1；M=（x，y）|y=log2x； M=（x，y）|y=ex2其中是“垂直对点集”的序号是参考答案：考点：函数的图
7、象 专题：新定义；数形结合；函数的性质及应用分析：利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M=（x，y）|y=f（x）是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可解答：解：由题意，若集合M=（x，y）|y=f（x）满足，对于任意A（x1，y1）M，存在B（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B对于M=（x，y）|y=，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四
8、象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OBOA，所以不符合题意；对于M=（x，y）|y=sinx+1，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交所以M=（x，y）|y=sinx+1是“垂直对点集”，故符合；对于M=（x，y）|y=log2x，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OMOT，所以M=（x，y）|y=log
9、2x不是“垂直对点集”；故不符合题意；对于M=（x，y）|y=ex2，其图象过点（0，1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=ex2的图象相交，即一定存在点B，使得OBOA成立，故M=（x，y）|y=ex2是“垂直对点集”故答案为：点评：这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决13. 已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于两点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则|FB|=参考答案：6【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】利用相似三角形和抛物
10、线的性质计算【解答】解：过A，F，B作抛物线准线的垂线，垂足依次为A1，M，B1，则FM=p=3，AA1=AF，BB1=BF，由=，AA1=AF=2，CF=3AF=6，sinB1CB=，B1CB=30，=，解得BF=6故答案为：6【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题14. 若在等腰RtABC中，|=|=2，则?= 参考答案：4【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由向量的加减运算和向量的垂直的条件，以及向量的平方即为模的平方，即可得到【解答】解：在等腰RtABC中，|=|=2，且ABAC，即有?=?（）=?=022=4故答案为：415. 已知函数f(x)=a(3-ax)在0,1上是关
11、于x的减函数，则a的取值范围是 参考答案：略16. 已知函数f（x）=（x1），当且仅当x= 时，f（x）取到最小值为 参考答案：2;2.【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义 【专题】不等式的解法及应用【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x1，x10函数f（x）=x1+=2，当且仅当x=2时取等号故答案分别为：2；2【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题17. 已知指数函数，对数函数和幂函数的图像都过，如果，那么 参考答案：答案：解析：令则，三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知数列满足，（）
12、证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；（）设数列满足，证明：对一切正整数参考答案：（）由 ，可得2分 是首项为2，公比为2的等比数列，即 3分19. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点（）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角MBQC大小为60，并求出的值参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定【分析】（I）由已知条件推导出PQAD，BQAD，从而得到AD平面PQB，由此能够证明平面PQB平面PAD（ II）以Q为坐标原点
13、，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】（I）证明：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，BQAD，又PQBQ=Q，AD平面PQB，又AD?平面PAD，平面PQB平面PAD（ II）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，PQ平面ABCD以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，0），C（2，0），设（01），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，二面角MBQC大小为60，=，解得，此时20. （在极坐标系中，圆C的方程为=2acos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（）若直线l与圆C相切，求实数a的值；（）若直线l过点（a，a），求直线l
