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1、湖北省荆门市洋县城关中学2020-2021学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数,其中为自然对数的底数,若关于的方程,有且只有一个实数解,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 参考答案:B略2. 双曲线的两个焦点为,为其上一点,且,若双曲线的离心率,则实数的最大值为A. B. C. D.参考答案:A3. 如图,为测得河对岸塔的高,先在河岸上选一点,使在塔底的正东方向上,测得点的仰角为,再由点沿东偏北方向走米到位置,测得,则塔的高度为( )A. B. C. D.参考答案:B
2、略4. 的展开式中的系数为( )A360 B180 C179 D359参考答案:C略5. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.299 B. 378 C. 1024 D. 1225参考答案:D略6. 极坐标方程 表示的曲线为( )A、极点 B、极轴 C、一条直线 D、两条相交直线参考答案:D7. 抛物线x2=4y的焦点坐标是()A(1,0)B(0,1)C(,0)D(0,)参考答案:B【考点】抛物
3、线的简单性质【分析】先根据标准方程求出p值,判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而写出焦点坐标【解答】解:抛物线x2=4y中,p=2, =1,焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为 (0,1),故选:B8. 已知样本容量为30,在样本频率分布直方图中,各小长方形的高的比从左到右依次为,则第2组的频率和频数分别是( ) 参考答案:A9. 一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A21+B18+C21D18参考答案:A【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积【解答】解:由三视图可知,几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥
4、,侧棱互相垂直,侧棱长为1,几何体的表面积为:S正方体2S棱锥侧+2S棱锥底=21+故选:A【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状10. 已知集合,则 A. B. 2 C. 3 D. 2,3参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在处的切线方程为 参考答案:12. 若直线是y=f(x)在x=2处的切线,则=_.参考答案:413. 如图,在等腰直角三角形中,是的重心,是内的任一点(含边界),则的最大值为_参考答案:4略14. 已知A、B、C是球O的球面上三点,AB=2,BC=4,且ABC=60,球心到平面ABC的距离为 , 则球O
5、的表面积为 参考答案:略15. 点P是曲线y=x2-ln x上的任意一点,则P到y=x-2的距离的最小值为.参考答案: 16. 已知随机变量X的分布列为,那么实数a=_.参考答案:3【分析】根据概率之和为1,即可求出结果.【详解】因为随机变量的分布列为,所以,因此.故答案为3【点睛】本题主要考查概率的性质,熟记概率性质即可,属于基础题型.17. a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y=a7平行且不重合的 条件.参考答案:充要条件略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值设(1)若
6、曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点 参考答案:解:(1)依题可设 (),则; 又的图像与直线平行 , , , 设,则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值当时, 解得 当时, 解得(2)由(),得 当时,方程有一解,函数有一零点;当时,方程有二解,若,函数有两个零点,即;若,函数有两个零点,即;当时,方程有一解, , 函数有一零点 综上,当时, 函数有一零点;当(),或()时,函数有两个零点;当时,函数有一零点.19. (本小题满分14分)已知为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.()求的值;()求函数的单调区间;()
7、若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围.参考答案:本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查运算求解能力及数形结合思想.(),由得, ,解得.()由()知,,.当时,;当时,;时,.所以的单调增区间是;的单调减区间是.()由()知,在内单调递增,在内单调递减,在上单调递增,且当或时,.所以的极大值为,极小值为.又因为,.当且仅当,直线与的图象有三个交点.所以,的取值范围为.略20. 直线y=a与函数f(x)=x33x的图象有三个互不相同的公共点,求a的取值范围参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调区间,然后画出函数的图象,从
8、而根据图象判断函数与直线的公共点的情况【解答】解:先求函数f(x)的单调区间,由f(x)=3x23=0,解得x=1,当x1或x1时,f(x)0,当1x1时,f(x)0,在(,1)和(1,+)上,f(x)=x33x是增函数,在(1,1)上,f(x)=x33x是减函数,由此可以作出f(x)=x33x的草图(如图)由图可知,当且仅当2a2时,直线y=a与函数f(x)=x33x的图象有三个互不相同的公共点21. 一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球(1)共有多少个基本事件?(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?参考答案:略22. 如图,在直三棱锥A1B1C1AB
9、C,ABAC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角(是指不超过90的角)的余弦值参考答案:【考点】直线的方向向量;异面直线及其所成的角;二面角的平面角及求法【分析】(1)以, 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求出=(2,0,4),=(1,1,4),利用数量积求解即可(2)是平面ABA1的一个法向量,求出平面ADC1的法向量,设平面ADC1与ABA1所成二面角为,利用空间向量的数量积求解即可【解答】(本小题满分12分)解:(1)以, 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),=(2,0,4),=(1,1,4),cos,=,异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为(2)是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为,取z=1,得y=2,x=2,平面ADC1的法向量为=(2,2,1),设平面ADC1与ABA1所成二面角为,cos=|cos,|=|=,平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为: