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1、湖北省荆门市栗溪实验中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则的最小值是（ ）A2 BC4 D5参考答案：C解析:因为当且仅当，且，即时，取“=”号。2. 设ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是( )A（0，+）B（0，）C（，+）D（，）参考答案：D【考点】正弦定理；等比数列的性质【分析】首先对三角关系式进行恒等变换，然后利用等比中项代入三角形的三边关系式，利用换元法解不等式，求的结果【解答】解：=设ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等
2、比数列b2=ac即：c=把c=代入a+bc得到：a2+abb2两边同除以a2得到：t2t10解得： （1）同理：把c=代入a+cb和b+ca解得：或 （2）综合（1）（2）得：【点评】本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，等比中项，三角形的三边关系，换元法在不等式中的应用3. 设a=20.4，b=30.75，c=log3，则（）AabcBbacCcbaDbca参考答案：B【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由已知利用指数函数、对数函数的单调性能求出结果【解答】解：a=20.4，b=30.75，c=log3，=1，b=30.7530.420.4=a2
3、0=1，bac故选：B【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用4. 已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ）A3B2C1D0参考答案：B5. 以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足,则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C. D.参考答案：C6. 在中，已知，则角的大小为 （ ） A150 B30 C120 D60参考答案：A略7. 若随机变量X的分布列为：X01P0.2m已知随机变量，且，则与的值为( )A B C D参考答案：C由随机变量的分布列可知，故选：C8. 下列表述正确的是 ( )归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推
4、理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A B C D参考答案：D9. 椭圆上的点到左焦点距离的最小值为（）A.1 B.2C.3D.4参考答案：A10. 下列命题中正确的个数为（）线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好A1B2C3D0参考答案：A【考点】相关系数【专题】对应思想；定义法；概率与统计【分析】根据“残差”的意义、线性相关系数和相关指数的意义，即可作出正确的判断【解答】解：根据线性
5、相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判断错误；根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，判断正确；根据用相关指数R2刻画回归的效果时，R2的值越大说明模型的拟合效果就越好，判断错误；综上，正确的命题是故选：A【点评】本题考查了“残差”与线性相关系数、相关指数的意义与应用问题，是基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，南北方向的公路l ，A地在公路正东2 km处，B地在A 东偏北方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，
6、 向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是_万元.参考答案：1112. 设函数,若是偶函数，则 _.参考答案：13. 右图是选修12中推理与证明一章的知识结构图, 请把“合情推理”，“ 类比推理”，“综合法”，“反证法”，填入适当的方框内.（填序号即可）。参考答案：略14. 一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x等于时，方盒的容积最大参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】根据条件求出容积的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，由导数可得在x=时函数V（x）有
7、最大值【解答】解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a2x，高为x，则无盖方盒的容积V（x）=（a2x）2x，0x；即V（x）=（a2x）2x=4x34ax2+a2x，0x；V（x）=12x28ax+a2=（6xa）（2xa），当x（0，）时，V（x）0；当x（，）时，V（x）0；故x=是函数V（x）的最大值点，即当x=时，方盒的容积V最大故答案为：15. 已知函数，且，则 _参考答案：6分析：由可求得，先求得的值，从而可得的值.详解：函数，且，即，故答案为.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属
8、于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16. 实数x，y满足，则 的最大值是_.参考答案：略17. 已知函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某校的研究性学习小组为了研究中学生的身高与性别情况，在该校随机抽出80名17至18周岁的学生，其中身高的男生有30人，女生4人；身高170的男生有10人。（1）根据以上数据建立一个列联表：170合计男生身高女生身高合计（2）请问在犯错误的概率不超过0
9、.001的前提下，该校17至18周岁的学生的身高与性别是否有关？ 参考公式： 参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828参考答案：.解：（1）列联表如下：170合计男生身高 30 10 40女生身高4 36 40合计 34 46 80 6分 ， 10分所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为该校17至18周岁的学生身高与性别有关 12分19. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角P-CD-B余弦值的大小；(3)求点C到平面PBD的距离参考答案：(1)见解析，(2)
10、(3)【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.2分在RtBAD中，AD=2，BD=，AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0），即BDAP，BDAC，又APAC=A，BD平面PAC. 4分解：（2）由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，故平面PCD的法向量可取为PA平面ABCD，为平面ABCD的法向量. 7分设二面角PCDB的大小为q，依题意可得. 9分（3）由（）得，设平面PBD的法向量为，则，即，x=y=z，故可取为. 11分，C到面PBD的距离为13分考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角
11、； 点、线、面间的距离计算。【点睛】综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用二面角的向量求法： 若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； 设分别是二面角的两个面，的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。20. 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE（）证明：D=E；（）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形参考答
12、案：【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（）利用四边形ABCD是O的内接四边形，可得D=CBE，由CB=CE，可得E=CBE，即可证明：D=E；（）设BC的中点为N，连接MN，证明ADBC，可得A=CBE，进而可得A=E，即可证明ADE为等边三角形【解答】证明：（）四边形ABCD是O的内接四边形，D=CBE，CB=CE，E=CBE，D=E；（）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MNBC，O在直线MN上，AD不是O的直径，AD的中点为M，OMAD，ADBC，A=CBE，CBE=E，A=E，由（）知，D=E，ADE为等边三角形21. 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？参考答案：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个由题意可得： 所用原料的总面积为z3x2y，作出可行域如图，8分在一组平行直线3x2yt中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2xy5和直线x2y4的交点(2，1)，最优解为：x2，y1
