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1、湖北省荆门市体育中学2021年高二数学文联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）A2B2C4D4参考答案：B【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【分析】根据题意，点（2，1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可
2、得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（2，0），即a=2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B2. 已知函数f（x）=3x2x1，x，在上任取一个数x0，f（x0）1的概率是( )ABCD参考答案：B【考点】几何概型【专题】转化思想；不等式的解法及应用；概率与统计【分析】根据一元二次不等式的解法求出
3、不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：由f（x）1得3x2x11，即3x2x20得（3x+2）（x1）0，得x1或x，x，1x或1x2，即1x0或1x02，则在上任取一个数x0，f（x0）1的概率P=，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据一元二次不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键3. 有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A5、10、15、20B2、6、10、14C2、4、6、8D5、8、11、14参考答案：A【考点】系统抽样方法【专题】常规题型【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个
4、样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A【点评】本题考查系统抽样，要求掌握系统抽样的特点：平均分租，每一组只抽一个样本，号码成等差数列属简单题4. 参数方程表示什么曲线（ A一条直线 B一个半圆 C一条射线 D一个圆参考答案：C略5. 直线x+y+1=0的倾斜角为（）A150B120C60D30参考答案：A【考点】直线的一般式方程【专题】计算题【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解【解答】解：设直线的倾斜角为（0180），则tan=所以=150故选A【点评】本题考查了直线
5、的一般式方程，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题6. 过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A（0，B（0，C0，D0，参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围【解答】解：由题意可得点P（，1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），即 kxy+k1=0根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，即 3k22k+1k2+1，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围
6、是0，故选：D【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题7. 在 ABC中， 则A等于 A 30 B 60 C 60或120 D 30 或150 参考答案：A8. 与圆：，：都相切的直线有1条 2条 3条 4条参考答案：已知圆化为标准方程形式：；：；两圆心距等于两圆半径差，故两圆内切；它们只有一条公切线故选9. 已知双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2 于 A，B 两点若|，|，|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为（）ABCD参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设实轴长为2
7、a，虚轴长为2b，令AOF=，则由题意知tan=，AOB中，AOB=1802，tanAOB=tan2=，由此推导出tan2=，从而能求出离心率【解答】解：如图，设实轴长为2a，虚轴长为2b，令AOF=，则由题意知tan=，AOB中，AOB=1802，tanAOB=tan2=，|，|，|成等差数列，设|=md、|=m、|=m+d，OABF，（md）2+m2=（m+d）2，整理，得d=m，tan2=解得=2或=（舍），b=2a，c=a，e=故选C10. 圆在点处的切线方程为（ ） A BC D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 现有如下四个命题：若动点P与定点A
8、（4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分设m，nR，常数a0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2（mn）2，若x0，则动点 P(x,)的轨迹是抛物线的一部分已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆已知A（7，0），B（7，0），C（2，12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线上述四个命题中真命题为 （请写出其序号）参考答案：【考点】曲线与方程【分析】利用直译法，求选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译
9、法求选项中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断中动点的轨迹即可【解答】解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，化简得9y2=4x264，即（x4），动点P的轨迹为双曲线的一部分，正确；m*n=（m+n）2（mn）2，=2，设P（x，y），则y=2，即y2=4ax（x0，y0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，正确；由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切MA=r+1，MB=5rMA+MB=6AB=2动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，正确；设此椭圆
10、的另一焦点的坐标D （x，y），椭圆过A、B两点，则 CA+DA=CB+DB，15+DA=13+DB，DBDA=2AB，椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，错误故答案为：12. 三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，平面所在的小圆面积为，则该三棱锥的高的最大值是- 参考答案：813. 下列四个命题：当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是=1；抛物线y=ax2（a0）的准线方程为y=；已知双曲线，其离心率e（1，2），则m的
11、取值范围是（-12，0）其中正确命题的序号是_（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：【分析】对于，先救出直线恒过的定点，再求出符合条件的抛物线方程，判断得正确；中根据渐近线方程求得a和b的关系进而根据焦距求得a和b，椭圆方程可得把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得抛物线的准线方程根据离心率的范围求得m的取值范围判断正确【详解】整理直线方程得（x+2）a+（1xy）=0，可知直线（a1）xy+2a+1=0恒过定点P（2，3），故符合条件的方程是 ，则正确；依题意知 =2，a2+b2=25，得a=，b=2 ，则双曲线的标准方程是，故可知结论正确抛物线方程得x2=y，可知准线方程
12、为 ，故正确离心率1e=2，解得12m0，又m0，故m的范围是12m0，正确，故其中所有正确结论的个数是：4故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、不等式的解法等基础知识，考查数形结合思想属于基础题14. 设P是曲线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为 * .参考答案：15. 在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为 参考答案：316. 已知一个五次多项式,用秦九韶算法求当 时多项式的值为 。参考答案：17. 若函数其中，是的小数点后第n位数字，例如，则（共2013个f）= .参考答案：1三、 解答题：本大题共5小题，共72
13、分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.（1）求角A；（2）若，求角C的取值范围。参考答案： ， 2分又 ， 而为斜三角形，. 5分， . 8分， 13分即，.16分19. 已知直线，（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标轴，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求.参考答案：(1) ，.(2)2.【分析】（1）对直接消参数，整理即可求得直线的普通方程，对整理为，利用极坐标与直角坐标关系即可求得曲线的直角坐标方程为：，问题得解。（2）对直线的参数方程化为，联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程，可得：，即可求得或，结合参数的几何意义即可求得，问题得解。【详解】（1）（为参数），所以 .所以直线的普通方程为：因为，整理得：，两边同乘以，可得：又，代入上式可得：
