1基本不等式及其应用1基本不等式若 a0,，b0，则ab2 ab，当且仅当时取“ ” 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正； （一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值（三相等）2常用不等式(1)a2b2ab2(a，bR)(2)2abab0,ba注：不等式 a2b22ab 和2ba ab它们成立的条件不同，前者只要求a、b 都是实数，而后者要求a、b 都是正数 .其等价变形： ab （2ba）2. (3)ab22ba(a，bR)(4)baab 2(a，b 同号且不为 0)(5)22baa2b22(a，bR). （6）baabbaba11222220,ba(7)abca3b3c33;, ,0a b c(8)abc33abc；, ,0a b c3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值： a0，b0，当 ab 为定值时， ab，a2b2有，即 ab，a2b2.(2)求最大值： a0，b0，当 ab 为定值时， ab 有最大值，即；2或 a2b2为定值时， ab 有最大值 (a0，b0)，即.设 a，bR，且 ab3，则 2a2b的最小值是 () A.6 B.42C.2 2 D.2 6 解： 因为 2a0， 2b0， 由基本不等式得2a2b22a2b22ab4 2，当且仅当 ab32时取等号， 故选 B.若 a0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为 () A.12B.1 C.2 D.4 解：a0，b0，a2b2，a2b22 2ab，即 ab12.当且仅当 a1，b12时等号成立 .故选 A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab)， 其全程的平均时速为v，则() A.avabB.vabC. abvab2 D.vab2解：设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v2ssasb2abab2ab2 ab ab.又 va2ababaaba2aba2a2ab0，va.故选 A.(2014上海 )若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2的最小值为 _.解：由 xy1 得 x22y2x22x22 2，当且仅当 x42时等号成立 .故填2 2.点(m，n)在直线 xy1 位于第一象限内的图象上运动，则 log2mlog2n的最大值是 _.解：由条件知， m0，n0，mn1，所以 mnmn2214，当且仅当 mn12时取等号，log2mlog2nlog2mnlog2142，故填2. 3类型一利用基本不等式求最值(1)求函数 y（x5）（x2）x1(x1)的值域 .解：x1， x10，令 mx1， 则 m0， 且 y（m4）（m1）mm4m52m4m59，当且仅当 m2 时取等号，故 ymin9.又当 m或 m0 时，y，故原函数的值域是 9，).(2)下列不等式一定成立的是() A.lg x214lgx(x0) B.sinx1sinx2(xk ，kZ) C.x212| |x (xR) D.1x211(xR) 解：A 中，x214x(x0)，当 x12时，x214x.B 中，sinx1sinx2(sinx(0，1)；sinx1sinx2(sinx1，0).C 中，x22|x|1(|x|1)20(xR).D 中，1x21(0，1(xR).故 C 一定成立， 故选 C.点拨：这里(1)是形如 f(x)ax2bxcxd的最值问题，只要分母xd0，都可以将f(x)转化为 f(x)a(xd)exdh(这里 ae0；若 ae0，可以直接利用单调性等方法求最值 )，再利用基本不等式求其最值. (2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在 . (1)已知 t0，则函数 f(t)t24t1t的最小值为.4解：t0，f(t)t24t1tt1t42，当且仅当 t1 时，f(t)min2，故填 2.(2)已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求：()xy 的最小值；()xy 的最小值 .解：()由 2x8yxy0，得8x2y1，又 x0，y0，则 18x2y28x2y8xy，得 xy64，当且仅当 x4y，即 x16，y4 时等号成立 .()解法一：由 2x8yxy0，得 x8yy2，x0，y2，则 xyy8yy2(y2)16y21018，当且仅当 y216y2，即 y6，x12 时等号成立 .解法二：由 2x8yxy0，得8x2y1，则 xy8x2y(xy)102xy8yx1022xy8yx18，当且仅当 y6，x12 时等号成立 .类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于 x 的不等式 (1k2)xk44 的解集是 M， 则对任意实常数k，总有() A.2M，0MB.2?M，0?MC.2M，0?MD.2?M，0M解法一： 求出不等式的解集： (1k2)xk44? xk44k21(k21)5k212? x（k21）5k212min2 52(当且仅当 k251 时取等号 ).解法二 (代入法 )：将 x2，x0 分别代入不等式中， 判断关于 k 的不等式解集是否为 R.故选 A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，5对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住 几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)af(x)恒成立 ? af(x)max；(2)af(x)恒成立 ? af(x)min；(3)af(x)有解? af(x)min；(4)af(x)有解? af(x)max. 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数 .若关于 x 的不等式mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围 .解：由条件知 m(exex1)ex1 在(0，)上恒成立 .令 tex(x0)，则 t1，且 mt1t2t11t11t11对任意 t1成立.t11t112（t1）1t113，1t11t1113，当且仅当 t2，即 xln2 时等号成立 .故实数 m的取值范围是，13.类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为 360 m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修 )，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45 元/m， 新墙的造价为 180元/m， 设利用的旧墙的长度为x(单位：元)， 修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元 ). (1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，则 y45x180(x2)180 2a225x360a360.由已知 xa360，得 a360 x，所以 y225x3602x360(x2).6(2)x0，225x3602x2225360210800，y225x3602x36010440，当且仅当 225x3602x，即 x24时等号成立 .答：当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m，高度为 b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b 的乘积 ab成反比 .现有制箱材料 60 m2，问 a，b 各为多少 m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔面积忽略不计 ). 解法一： 设 y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知： ykab，其中 k是比例系数且 k0.依题意要使 y 最小，只需 ab最大.由题设得： 4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2b30ab(a0，b0).a2b2 2ab，2 2abab30，得 0ab3 2.当且仅当 a2b 时取“”号，ab 最大值为 18，此时得 a6，b3.故当 a6 m，b3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二： 同解法一得 b30aa2，代入 ykab求解.1.若 a1，则 a1a1的最小值是 () A.2 B.aC.3 D.2 aa1解：a1，a1a1a11a112（a1）1a11213，当 a2 时等号成立 .故选 C.2.设 a，bR，ab，且 ab2，则下列各式正确的是 () 7A.ab1a2b22B.ab1a2b22C.1aba2b22D.aba2b221 解：运用不等式 abab22? ab1 以及(ab)22(a2b2)? 2a2b2(由于 ab，所以不能取等号 )得，ab1a2b22，故选 A.3.函数 f(x)54xx22x在(， 2)上的最小值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解： 当 x 2 时， 2x0，因此f(x)1（44xx2）2x12x(2x)212x （2x）2， 当且仅当12x2x 时上式取等号 .而此方程有解 x1(，2)，因此 f(x)在(，2)上的最小值为 2，故选 C.4.(2014福建)要制作一个容积为4 m3，高为 1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 () A.80 元B.120 元C.160元D.240 元解：假设底面的长、宽分别为x m，4xm，由条件知该容器的最低总造价为y8020 x80 x160，当且仅当底面边长x2 时，总造价最低，且为160 元.故选 C.5.下列不等式中正确的是 () A.若 a，bR，则baab2baab2 B.若 x，y 都是正数，则 lgxlgy2lgxlgyC.若 x0，则 x4x2x4x4 D.若 x0，则 2x2x2 2x2x2 解：对于 A，a 与 b 可能异号，A 错；对于 B，lgx 与 lgy 可能是负数， B 错；对于 C，应是 x4x（x）4x2（x）4x4，C 错；对于D，若 x0，则 2x2x22x2x2 成立(x0 时取等号 ).故选 D.6.(2014重庆)若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是 () A.62 3 B.72 3 C.64 3 D.74 3 8解：因为 log4(3a4b)log2ab，所以 log4(3a4b)log4(ab)，即 3a4bab，且3a4b0，ab0，即 a0，b0，所以4a3b1(a0，b0)，ab(ab)4a3b74ba3ab724ba3ab74 3，当且仅当4ba3ab时取等号 .故选D.7.若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是 .解：因为 x0，所以 x1x2(当且仅当 x1 时取等号 )，所以有xx23x11x1x312315，即xx23x1的最大值为15，故填 a15.8. (2014 四川)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是 _.解：易知定点 A(0，0)，B(1，3).且无论 m取何值，两直线垂直 .所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P 在以 AB 为直径的圆上 ).所以|PA| |PB|12(|PA|2|PB|2)5.当且仅当 |PA|PB|5时，等号成立 .故填 5.9.(1)已知 0 x43，求 x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线 x2y3 上移动，求 2x4y的最小值 .解：(1)已知 0 x43，03x4.x(43x)13(3x)(43x)133x43x2243，当且仅当 3x43x，即 x23时“”成立.当 x23时，x(43x)取最大值为43.(2)已知点 (x，y)在直线 x2y3 上移动，所以 x2y3.2x4y22x4y22x2y2 234 2.当且仅当2x4y，x2y3，即 x32，y34时“”成立.9当 x32，y34时，2x4y取最小值为 4 2.10.已知 a0，b0，且 2ab1，求 S2 ab4a2。
