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1、安徽省阜阳市临泉县职业高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若,均为单位向量, ?=, =x+y(x,yR),则x+y的最大值是()A1BCD2参考答案:B【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题;转化思想;判别式法;平面向量及应用【分析】由题设知=(x+y)2=x2+y2+2xy=x2+y2xy=1,设x+y=t,y=tx,得8x28tx+3t23=0,由方程8x28tx+3t23=0有解,知0,由此能求出x+y的最大值【解答】解:,均为单位向量, ?=, =x+y
2、(x,yR),=(x+y)2=x2+y2+2xy=x2+y2xy=1设x+y=t,y=tx,得:x2+(tx)2x(tx)1=0,8x28tx+3t23=0,方程8x28tx+3t23=0有解,=64t2483(t21)0,即t23,t,x+y的最大值为故选:B【点评】本题考查平面向量的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用2. 设函数的解的个数不可能是 ( ) A1B2C3D4参考答案:答案:A3. 已知函数,且,则 A BCD参考答案:C因为,所以,选C.4. O为ABC内一点,且2+=, =t,若B,O,D三点共线,则t的值为()ABCD参考答案:B
3、【考点】平行向量与共线向量【分析】以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF与 BC相交于点E,E为BC的中点2+=,可得=2=2,因此点O是直线AE的中点可得B,O,D三点共线, =t,点D是BO与AC的交点过点O作OMBC交AC于点M,点M为AC的中点利用平行线的性质即可得出【解答】解:以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF与 BC相交于点E,E为BC的中点2+=, =2=2,点O是直线AE的中点B,O,D三点共线, =t,点D是BO与AC的交点过点O作OMBC交AC于点M,则点M为AC的中点则OM=EC=BC,=,AD=AM=AC, =t,t=故选:B5. 要得到函数的图
4、象,只要将函数的图象()A向左平移1个单位B向右平移1个单位 C向左平移个单位D向右平移个单位参考答案:C6. 美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线,它的渐近线分别是轴和直线,其离心率e=( )A B C D 参考答案:D略7. 按照程序框图(如图所示)执行,第3个输出的数是( )A3 B4 C5 D6 参考答案:C第一次输出的A=1,则S=1+1=2,满足条件S5,然后A=1+2=3第二次输出的A=3,则S=2+1=3,满足条件S5,然后A=3+2=5第三次输出的A=5,故选C8. 已知变量x,y满足,则的最大值是( )A4 B2 C1 D参考答案:C9. 已知双曲线的左
5、,右焦点分别为,双曲线上一点满足轴若,则该双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)参考答案:B,故10. 已知等差数列的首项,设为的前项和,且,则当取得最大值时的值为( )A8 B.9 C.8或9 D. 7或8参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为 参考答案:12. 如图是判断“美数”的流程图,在30,40内的所有整数中“美数”的个数是 。参考答案:3略13. 若,则tan的值是 参考答案:略14. 若关于,的不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则的值为 . 参考答案:先做出不等式对应的区域如图。
6、因为直线过定点,且不等式表示的区域在直线的下方,所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域,三角形的高为1,所以,所以,当时,,所以,解得。15. (2011?福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于_参考答案:略16. 某商人将彩电先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚144元,那么每台彩电原价是元参考答案:1200【考点】一次函数的性质与图象【分析】设每台彩电原价是x元,由题意可得 (1+40%)x?0.8x=144,解方程求得x的值,即为所求【解答】解:设每台彩电原价是x元,由题意可
7、得 (1+40%)x?0.8x=144,解得 x=1200,故答案为 1200【点评】本题主要考查一次函数的性质应用,属于基础题17. 若三棱锥SABC的所有的顶点都在球O的球面上SA平面ABCSA=AB=2,AC=4,BAC=,则球O的表面积为 参考答案:20【考点】LG:球的体积和表面积【分析】由余弦定理求出BC=2,利用正弦定理得ABC=90从而ABC截球O所得的圆O的半径r=AC=2,进而能求出球O的半径R,由此能求出球O的表面积【解答】解:如图,三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SA平面ABCSA=AB=2,AC=4,BAC=,BC=2,AC2=BC2+AB2,ABC=90A
8、BC截球O所得的圆O的半径r=AC=2,球O的半径R=,球O的表面积S=4R2=20故答案为:20【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识,考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力,考查应用意识、创新意识,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想,是中档题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数(1)求函数的最大值;(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)若,求证:参考答案:略19. (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,是的外接圆,D是的中点,BD交AC于E()求证:;()若,O到AC的距离为1,求O的
9、半径参考答案:(I)证明:,又,CD=DEDB; (5分)20. (本小题满分12分)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记“”为事件A,求事件A的概率;在区间内任取2个实数,求事件“恒成立”的概率.参考答案:【知识点】几何概型;古典概型及其概率计算公式.K2 K3(1)2;(2), 解析:(1)依题意共有小球个,标号为的小球个,从袋子中随机抽取 个小球,取到标号
10、为的小球的概率为,得;3分(2)从袋子中不放回地随机抽取个小球共有种结果,而满足 的结果有种,故; 6分由可知,故,()可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为,由几何概型得概率为. 12分【思路点拨】(1)利用从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是,确定n的值(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球,共有基本事件12个,其中“”为事件A的基本事件有4个,故可求概率记恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y24恒成立,(x,y)可以看成平面中的点,确定全部结果所构成的区域,事件B构成的区域,利用几何概型可求得结论21. (本小题满分12分) 如图,已知圆,点,是圆E上任意
11、一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q。(1)求动点Q的轨迹的方程;(2)设直线与(1)中轨迹相交于A、B两点,直线OA,OB的斜率分别为(其中),的面积为,以OA、OB为直径的圆的面积分别为,若恰好构成等比数列,求的取值范围。参考答案:(1)(2)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线和圆的方程的应用H4 H8解析:()连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,故动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆设其方程为,可知a=2,则b=1,点Q的轨迹的方程为为()设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)联立,化为(
12、1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,=16(1+4k2m2)0,x1+x2=,x1x2=k1,k,k2构成等比数列,k2=k1k2=,化为:km(x1+x2)+m2=0,+m2=0,解得k2=k0,k=此时=16(2m2)0,解得又由A、O、B三点不共线得m0,从而故S=|x1x2|=|m|=,又,则S1+S2=+=为定值=,当且仅当m=1时等号成立综上:【思路点拨】()连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,可|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,故动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆解出即可()设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)与椭圆的方
13、程联立可得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,利用根与系数的关系及其k1,k,k2构成等比数列,可得km(x1+x2)+m2=0,解得k2=,k=利用0,解得,且m0利用S=|x1x2|=,又,可得S1+S2=为定值代入利用基本不等式的性质即可得出的取值范围22. 已知椭圆经过点,离心率.(1)求的方程;(2)设直线经过点且与相交于两点(异于点),记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.参考答案:(1)因为椭圆,经过点,所以又,所以,解得故而可得椭圆的标准方程为:(2)若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时直线与椭圆相切,不符合题意设直线的方程为,即,联立,得设,则所以为定值,且定值为-1