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1、1 数系的扩张与复数的四则运算【考点及要求】 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。理解复数代数形式的四则运算法则， 能进行复数代数形式的四则运算。【基础知识】1. 数 的 扩 展 ： 数 系 扩 展 的 脉 络 是 ：，用集合符号表示为，实际上前者是后者的真子集. 2.复数的概念及分类：概念：形如( ,)abi a bR的数叫做，其中ab与分别为它的和 . 分类：若( ,)abi a bR为实数，则，若( ,)abia bR为虚数，则，若( ,)abi a bR为纯虚数，则；复数相等：若复数( , , ,)abicdi a b c dR；共轭复数：( , ,
2、 ,)abicdi a b c dR与共轭；3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|2 (zzza a12z|为正常数 ,2a|z-z | ）则加法：12()()zzabicdi；减法：12()()zzabicdi；2 乘法：12()()zzabicdi； 乘 方 ：mnzz；()mnz；12()nzz；除法：12zabizcdi12zabizcdi；4. 复 平 面 的 概 念 ： 建 立 直 角 坐 标 系 来 表 示 复 数 的 平 面 叫做，叫做实轴，叫做虚轴；实轴上的点表示，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5. 复 数 的 模 ： 向 量OZ的 模 叫 做 复 数( ,)zabi
3、a bR的（或） ，记 作（ 或） ， 即| |zabi；复数模的性质：121212| | |zzzzzz；2222|zzzzzz；6. 常见的结论：4411nni4n+24n+34n+4nn+1n+2n+3的运算律： i，ii,i=-1,i=-i,i=1,i+i+i+i=0；2(1) i；11ii；11ii；3 13,22i3设则；2；21；【基本训练】1 若ibiia)2(， 其 中,a bR i是 虚 数 单 位 ， 则22ab等于2 设 复 数121,2 ()zi zxi xR， 若12z z为 实 数 ， 则x等于3 若c o ss i n(zii是 虚 数 单 位 ）， 则 使21
4、z的值 可 能是422)1(1)1(1iiii等于_. 5 已 知 复 数032zi， 复 数z满 足025zizz， 则 复 数z_. 6i是虚数单位，23482348iiiii= _. 【典型例题】例 1已知：复数z)()65()67(22Raiaaaa，试求实数a分别取什么值时，复数z分别为：实数；虚数；纯虚数； 复数z在复平面上对应的点在x轴上方；4 练习：复数 z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z10是实数， 1 |z -z | ）表示；12|2 (zzza a12z|为正常数 ,2a1 是a10，设 P：函数 y=cx在 R 上单调递减， Q：不等式 x+|x2c|1 的解集
5、为 R，如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围练习：设有两个命题：关于 x 的不等式 x2+2ax+40 对一切 x R恒成立；函数 f（x）=(52a)x是减函数若命题有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是例 3 （对任意实数a，b，c，给出下列命题：“ba”是“bcac”充要条件；“5a是无理数”是“a是无理数”的充要条件“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件.21 其中真命题的个数是练习：有下列四个命题：“若0yx，则yx,互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若1q，则022qxx有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角
6、相等”的逆否命题；其中真命题的个数是例 4求证：关于 x 的方程220 xaxb有两均小于 2 的实数根的充分不必要条件是24ab且。证明：22 练习：已知0,0 ba，试求对任意1x，不等式bxxax1恒成立的充要条件【课堂检测】1 “直线与平面 内无数条直线垂直”是“直线与平面 垂直”的条件2. 判断命题“若0m，则02mxx有实数根”的逆否命题的真假；23 【课堂作业】1已知函数12cos32)4(sin4)(2xxxf，条件24:xp，条件2|)(:|mxfq，若 p 是 q 的充分条件，求实数m 的取值范围。2. 设有两个命题： （1）关于x的不等式0422axx对一切Rx恒成立；
7、（2）函数xaxf)25()(是减函数，若命题有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围。 89 逻辑连接词及全称、存在量词【考点及要求】 了解逻辑连接词“或”、 “且”、 “非”的含义，学会用它们正确表示相关的数学命题；常用的全称、存在量词及全称、存在性命题的基本形式，对全称、存在性命题的否定。24 【基础知识】1.常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、所有的、至多n 个、任意两个、或、且”的否定分别是：2复合命题形式的真假判别方法；p q 非 p P 或 q P 且 q 真真真假假真假假3命题的否定与否命题的区别，全称性命题的否定为存在性命题，存在性命
8、题的否定为全称性命题. 【基础训练】1.指出命题“23”的形式是， 判定它的真假为。写出该命题的否定为 . 2.写出命题“xR，2410axx”的否定形式. 3. 命题 p：存在实数 m，使方程 x2mx10 有实数根，则“非p”形式的命题是_ _ 4. 判断下列命题的真假：25 01,2xxRx；714131,22xxQx是有理数；sinsin)sin(,R；1023 ,yxQyZx；Rba,，方程0bax恰有一实数解【典型例题】例 1. 在下列结论中， pq为真是pq为真的充分不必要条件；pq为假是pq为真的充分不必要条件；pq为真是p为假的必要不充分条件；p为真是pq为假的必要不充分条件
9、；正确的是 _ _练习：由下列各组命题构成的“p或q”、 “p且q”“ 非p”形式的命题中， “p或q”为 真 ，“p且q”为 假 ，“非p”为 真 的 是（）Ap：3 是偶数，q：4 是奇数；Bp：3+2=6 ，q：53；Cp：RQ，q：ZN；Dp：菱形对角线互相平分，q：菱形对角线互相垂直26 例 2写出下列命题的否定并判别真假。（1）全等的三角形是相似三角形。（2）若 x,y 都是奇数，则 x+y 是偶数。（3）若 xy=0，则 x=0 或 y=0。（4）至少有一个实数 x，使得sincos2xx练习：对于下述命题 p，写出“非p”形式的命题， 并判断“ p”与“非p“的真假：p：91
10、A B（其中全集 U=N* ，A=质数，B=正奇数 ）. p：底面是正多边形的棱锥是正棱锥. p：任意正整数都是质数或合数. p：三角形有且仅有一个外接圆. 27 【课堂检测】1若命题“ p 且 q”为假，且“非 p”为假，则 _ 2如果AB，那么A是B的_ 条件3 “ p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题”的 _ 条件4命题“不论 m 取什么实数，20 xxm必有实数根”的否定是_ _, 这是一个 _命题（填“真”或“假”）5设命题 p：|4x3|； 命题：q：x2（2a+1）x+a（a+1） 0若p是 q的 必 要 而 不 充 分 条 件 ， 则 实 数a的 取 值 范 围是 9
11、0 逻辑连接词及全称、存在量词【典型例题】例 3已知两个命题 p：3 是 13 的约数；q：3 是方程0342xx的解试写出这组命题构成的“ p 或 q”， “ p 且 q”， “非 p”形式的复合命题，28 并判断它们的真假练习：写出由下述各命题构成的“p 或 q”， “ p 且 q”， “非 p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假. p：连续的三个整数的乘积能被2 整除， q：连续的三个整数的乘积能被 3 整除. p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形 . 29 例 4. 已知命题 P：方程2xmx10有两个不等的负实根。命题Q：方程24x4(m2
12、)x+1=0无实根。若“ P 或 Q”为真，“ P 且 Q”为假，求实数 m 的取值范围。练习： 已知)0(012:,0208:222mmxxqxxp， 且非p是非q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。30 例 5设 a，b，c，d R，求证： ac=2（b+d）是方程x2+ax+b=0与方程 x2+cx+d=0 中至少有一个有实根的充分但不必要条件.【课堂检测】1在下列命题中：2,0 xR x. xR,使得x2+x+1g(x) 恒成立的充分不必要条件是 . Ax R，f(x)g(x) B. 存在无数个x R,使得f(x)g(x) Cx R，都有 f(x)g(x)+1 D. 不存在 x R
13、,使 f(x) g(x) 【课堂作业】31 1.已知)0(012:,2311:22mmxxqxp，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 . 2. 设命题 P：函数)161lg()(2axaxxf的定义域为 R；命题 q：不等式axx112对一切正实数均成立，如果p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求实数a的取值范围 . 91 合情推理和演绎推理【考点及要求 】了解合情推理的含义及其在数学发现中的作用，能利用类比和归纳等进行简单的合情推理；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能它们进行一些简单推理，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。【基础知识 】1. 推理一般
14、包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推32 理 通 常 称 为 归 纳 推 理 ； 归 纳 推 理 的 思 维 过 程是：、. 类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、. 3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：M 是 P，S 是 P；其中是，它提供了一个个一般性原理；是，它指出了一个个特殊对象；是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等） 、实验和实践的
15、结果， 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程【基本训练 】1. 前提：当 n=0 时，n2-n+11=11; 当 n=1 时，n2-n+11=11; 当 n=233 时，n2-n+11=13; 当 n=3时 ， n2-n+11=17; 归 纳推 理 ； 当 n=4时 ，n2-n+11=23; 当 n=5 时，n2-n+11=31; 11,11,13,17,23,31都是质数 .
16、结论对于所有的自然数的值都是质数 . 2.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。由此猜想：. 3.三角形的内角和是180 度，凸四边形的内角和是360 度，凸五边形的内角和是 540 度，由此猜想：凸 n 边形的内角和是.4. 金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀，所以，所有的金属受热后都. 5归纳推理的一般模式：S1具有 P,S2具有 P,， Sn具有 P, (S1,S2,Sn是 A 类事物的对象）所以6.已知：矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和，类比推理结论：. 34 【典型例题 】例 1观察 ,1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=5 ，结论：练习： 1.观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：11221122631113261 2411114261 22 05结论：2.阅读下列各式：222233333388444
