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1、. 第 4 讲椭圆A 级基础演练(时间： 30 分钟满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1椭圆2 x 2 4 y 1 的两个焦点为F1，F2，过 F1 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|( )7 A. 2 B. 3 2 C. 3 D4 2 2 解析a 4，b 1，所以 a2，b1，c3，不妨设F1 为左焦点， P 在 x 轴上方，则F1(3，0)，设 P(3，m)(m0)，则3 4 2 m21，解得 m 21，解得m 1 1 ，所以 |PF1| ，根据椭圆定义：|PF1|PF2|2a，所以 |PF2|2a|PF1|2 2 2217 2.
2、2 答案A 2(2012 江西)椭圆2 2 x y 221(ab0) 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别a b 是 F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )1 A.4 B. 5 1 5 C.2 D. 52 解析因为 A，B 为左、右顶点， F1，F2 为左、右焦点， 所以|AF1|ac，|F1F2| 2c， |F1B| ac. 又因为 |AF1|， |F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(ac)( ac)4c 2，即 a25c2. . . c 所以离心率ea 5 ，故选 B. 5 答案B 第 1 页共 10 页. 2my21 的离心率e3(
3、2013 嘉 兴测试)已知椭圆x 1 2 ，1 ，则实数m 的取值范围是( )3 A. 0，4 B. 4 3 ，3 4 C. 0，43 ，D. 3 4 ，1 1，4 3 2 解析椭圆标准方程为 x 1.当 m1 时， e2y 21 1 2y 21 1 1 m m 1 4 ，1 ，解得 m ；4 3 1 1 m 当 0 m1 时， e 1m21 m 1 3 ，1 ，解得0mb0) 的中心为 O，左焦点为 F，A 是椭a b 1 2圆上的一点.OAAF0 且 OAOF ，则该椭圆的离心率是( )2OF A. 102 2 B. 102 2 C35 D35 2 解析因为OAAF0，且 OAAFOA(O
4、FOA)，所以 OAOFOA ，所以 |OA |2 2 |OF |2 2 c ，所以 |AF |2 2 c，且AOF 45 ，设椭圆的右焦点是F ，在 AOF 中，由余弦定理可得AF 52c，由椭圆定义 可得AFAF 1 2c5c 2 2 2c2a，即 (15)c2 2a，故离心率ea 102 2 . . . 15 答案A 二、填空题 (每小题5 分，共 10 分) 5(2013 青岛模拟)设椭圆2 x 2m 2 y 28x 的焦点21(m0，n0)的右焦点与抛物线 yn 第 2 页共 10 页. 相同，离心率为12 ，则此椭圆的方程为_1 2 解析抛物线y ，m4，代28x 的焦点为 (2,
5、0)，m2n2 4，e2 m 2 入得，n212，椭圆方程为x 212，椭圆方程为x 16 2 y 1. 12 答案2 2 x y 1 16 12 6(2013 佛山模拟 )在等差数列 an中，a2a311，a2a3a421，则椭圆C：2 2 x y a6a5 1 的离心率为 _解析由题意，得a410，设公差为d，则 a3a2(10d)(102d)203d11，d3，a5a4d13，a6a42d16a5，e1613 4 3 4 . 答案3 4 三、解答题 (共 25 分) 7(12 分)已知 F1，F2 分别是椭圆2 2 x y 221(a b0)的左、右焦点，A 是椭圆上位a b 于第一象限
6、内的一点，A F2 F 1F20，若椭圆的离心率等于2 2 . (1)求直线AO 的方程 (O 为坐标原点 )；(2)直线 AO 交椭圆于点B，若三角形ABF2 的面积等于4 2，求椭圆的方程解(1)由 A F2 F 1F2 0，知 AF2F1F2，椭圆的离心率等于2 ，c2 2 21 2. 2 a，可得 b 2a 设椭圆方程为x . . 22y2a2. 设 A( x0，y0)，由 AF2 F1F20，知 x0c，1 A(c，y0)，代入椭圆方程可得y02a，A 2 1 2 a，2a ，故直线AO 的斜率k2 ，2 直线 AO 的方程为y2 2 x. 第 3 页共 10 页. (2)连接 AF
7、1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知，SABF2SABF1SAF1F2，1 1 2 2c 2a4 2. 又由 c2 2 2 2 a ，解得 a 16，b 1688. 故椭圆方程为2 2 x y 1681. 2 x 8(13 分)设 F1，F2 分别为椭圆C：22a 2 y 21(ab0) 的左、右焦点，过F2 的直线b l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，直线 l 的倾斜角为60 ，F1 到直线 l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果 AF22F2B，求椭圆C 的方程解(1)设椭圆 C 的焦距为2c，由已知可得F1 到直线 l 的距离3c2 3，故 c 2. 所
8、以椭圆C 的焦距为4. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 AF22F2B 及 l 的倾斜角为60 ，知 y10，直线 l 的方程为y3(x2)y3 x2 ，由2 2 x y 221 a b 消去 x，整理得 (3a 2b2)y24 3b2y3b40. 2 2 3b 22a 3b 22a 解得 y12b2 ，y 2b2 . 23a 3a 因为 A F2 2F 2B，所以 y12y2，. . 即3b 3b2 22a 2 2 2a 2 22a 2 22a 2b2 22b2 ，解得a 3. 3a 3a 2 2 2 而 a b 4，所以 b 5. 故椭圆 C 的方程为2 2 x y 1.
9、 9 5 第 4 页共 10 页. B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分) 2 2 x y 1. (2013 厦 门质检)已知 F 是椭圆 C：2 1(a b0)的2a b c 右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆 x3 2 2 y 2 b 9 相切于点Q，且 PQ 2Q F ，则椭圆 C 的离心率等于( )A. 5 2 3 B.3 C. 2 1 2 D. 2 c 解析记椭圆的左焦点为F，圆 x3 2 2y2b 的圆9 心为 E，连接 PF，QE. |EF | |OF|OE |cc3 2c 3 ，P Q2QF ，|EF |1
10、|FF| 3 |QF |PF |，PF QE，|QE| 1 ，且 PF PF. 3 |PF| 又|QE|b3(圆的半径长 )，|PF|b. 据椭圆的定义知：|PF|PF |2a，|PF |2ab. 2 2 2 PF PF，|PF| |PF | |FF| ，2 2)b22ab，2 2 2 b (2 a b) (2c) ，2(a c . . 3b 3 a，22ab，b2a 2 b25 c ，ca 3 a 5 ，3 椭圆的离心率为5 3 . 答案A 2 2 x y 2(2012 山东)已知椭圆C：21(ab0)的离心率为22(2012 山东)已知椭圆C：21(ab0)的离心率为a b 3 2y21
11、2 .双曲线x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，第 5 页共 10 页. 则椭圆 C 的方程为( )2 2 2 2 x y x y A.8 21 B. 61 122 x C. 162 2 2 y x y 41 D. 5 1 20解析因为椭圆的离心率为3 c ，所以e2 a 3 ，c222 3 3 2， c22a2b2，4a 4a 2 所以 b 4a 21 2， 即 a24b2.双曲线的渐近线方程为y x，代入椭圆方程得x 2a 2 x 2 b 1，即2 x 24b 2 x 2b 2 5x 24 2， x2 24 2，y2 21，所以x 5b b， y 5b
12、 b，则在4b 5 5 第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为2b，5 2 b ，所以四边形的5 面积为 42 b5 2 2 216，所以 b25，所以椭圆方程为x 16 b5 b 20 5 2 y 1. 5 答案D 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分) 2 2 x y 3(2012 泰安一模 )F1，F2 为双曲线C：2 1(a0，b0)的焦点， A，B 分别2a b 为双曲线的左、右顶点，以F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且满足 MAB 30 ，则该双曲线的离心率为_解析如图，以F1F2 为直径的圆为x 2y2c2，双b 曲线的渐近线为yax. .
13、 . 2y2c2，x 由ybax，得 M(a ，b)，MAB 为直角三角形|MB |在 RtMAB 中，tan 30 |AB |b 2a3 3 . 2 b 2 3 b 3 .e121a a 2 3 3 221 3 . 答案21 3 第 6 页共 10 页. 2.如图， OFB ，ABF 的面积为23，则以 OA 为长6 半 轴 ， OB 为短半轴， F 为一个焦点的椭圆 方程 为_解析设标准方程为2 x 2a 2 y 21(ab0) ，b 由题可知， |OF|c，|OB |b，|BF|a，OFB ，6 b c 3 ，a2b. 3 1 1 S 2 |AF | |BO|ABF2(ac) b 1 2
14、( 2b3b)b23，2 b 2，b2，a2 2，椭圆的方程为2 2 x y 1. 8 2 答案2 2 x y 1 8 2 三、解答题 (共 25 分) 5(12 分 )(2012 南 京二模 ) 如图，在平面直角2 2 x y 坐标系xOy 中，椭圆C：2 1(ab0) 2a b 的离心率为3 ，以原点为圆心， 椭圆 C 的短2 半轴长为半径的圆与直线xy20 相切(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2) 设 M，N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点T.求证：点T 在椭圆 C 上(1)解由题意知， b22. 2 . . c 因为离
15、心率ea 3 ，所以2 b a 1ca 1 22. 所以 a2 2. 所以椭圆C 的方程为2 2 x y 8 21. 第 7 页共 10 页. (2)证明由题意可设M，N 的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线 PM 的方程为yy01 x0 x1，y0 2 直线 QN 的方程为yx0 x2. 法一联立解得xx0 ，y2y03 3y0 4 ，2y0 3 即 T x0 ，2y03 3y04 2y03 2 2 x y 0 0 2 2 .由1，可得 x084y0. 8 2 因为1 8 x0 2y03 1 2 23y04 2y03 2 x04 3y04 22 8 2y03 2 2 2 2 8
16、4y04 3y04 32y096y072 8 2y03 2 2 8 2y03 8 2y03 8 2y03 2 21，所以点 T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆 C 上x 3y4 法二设 T(x，y)，联立 解得x02y 3. ，y02y 3 因为2 x 0 8 2 y 0 1，所以2 1 8 x 2y3 21 2 3y4 2y3 21. 整理得2 x 8 3y4 2 2 (2y 3)2，2，所以2 x 8 2 9y 2 12y84y 12y9，即2 2 x 8 2 y 1. 2 所以点 T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆 C 上6(13 分)(2012 重 庆) 如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在x 轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段 OF1，OF2 的中点分别为 B1，B2，且AB1B2 是面积为4 的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；. . (2)过 B1 作直线l 交椭圆于P，Q 两点，使PB2QB2，求直线l 的方程解(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为2 2 x a 第 8 页共 10 页. 2 y 21( ab0)，右焦点为F2
