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1、河南省新乡市辉县木加营中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知,则下列命题正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则 参考答案:C2. 若,其中,是虚数单位则复数 ( ) A BC D参考答案:B略3. 若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )A(4,2)B(1,2)C(4,0)D(2,4)参考答案:A考点:简单线性规划 专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用分析:由题意作出其平面区域,将z=ax+2y化为y=x+,相当于直线y=x+
2、的纵截距,由几何意义可得解答:解:由题意作出其平面区域,将z=ax+2y化为y=x+,相当于直线y=x+的纵截距,则由目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值可知,12,则4a2,故选A点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题4. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,这样交替进行下去,那么第202次互换座位后,小兔坐在第 号座位上 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案:B5. 设P为内一点,且,则的面积与面积之比为( )A. B. C. D. 参考答案:C6. 已知,.
3、若是与的等比中项,则的最小值为( )A8 B4 C1 D2参考答案:B考点:基本不等式【名师点睛】求二元函数的最值问题,基本方法是应用基本不等式,但要注意基本不等式的条件,本题应用“1”的代换法,把变为展开后,凑出了基本不等式的条件:定值,然后才可应用它得出结论,在应用基本不等式时一定要注意7. 某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( ) 参考答案:C8. ()A. B. C. D. 参考答案:A【分析】把复数乘积展开,化简为a+bi(a、bR)的形式,可以判断选项【详解】(1+3i)(1-i)1+3+3i-i4+2i故选:A9. 已知,则的值为(
4、)A. B. C. D. 参考答案:B【分析】利用诱导公式,以及二倍角公式,即得解.【详解】由诱导公式:,再由二倍角公式:故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,二倍角公式综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.10. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是( )参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=Asin(wx+j)(w0,x?R)的部分图象如图所示,则函数表达式为 .参考答案:略12. 函数的单调递增区间是 ; 参考答案:13. 若是幂函数,且满足=3,则= ;参考答案:14. 已知平面向量,的夹角为,且,则_参考答案:【分析
5、】先由题意求出,得到,进而可求出结果.【详解】因为,所以,又向量,的夹角为,且,则,所以.故答案为15. 函数f(x)=x21(x1)的反函数f1(x)= 参考答案:,x16. 已知函数的图象上任意一点处的切线方程为,那么的单调减区间 参考答案:17. 已知函数y=ax+b(b0)是定义在R上的单调递增函数,图象经过点P(1,3),则的最小值为参考答案:【考点】基本不等式【分析】函数y=ax+b(b0)是定义在R上的单调递增函数,图象经过点P(1,3),可得a1,3=a+b于是=(a1+b)=,再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解:函数y=ax+b(b0)是定义在R上的单调递增函数,图象经
6、过点P(1,3),a1,3=a+b=(a1+b)=,当且仅当a=,b=时取等号故答案为:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金(奖金额3000元)、专业二等奖学金(奖金额1500元)及专业三等奖学金(奖金额600元),且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图,图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。()求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数;(
7、)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,列22联表并判断是否有99.9的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关?()若以频率作为概率,从该校任选一名学生,记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X,求随机变量X的分布列和期望。P()0.010.050.0100.0050.001k02.713.846.647.8810.83参考答案:19. 已知数列是递增的等比数列,满足,且是、的等差中项,数列满足,其前项和为,且.(1)求数列,的通项公式;(2)数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.参考答案:(1),;(
8、2).(2),.不等式化为,对一切恒成立.而,当且仅当即时等号成立,.考点:数列.20. 已知曲线C的极坐标方程为=4cos,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设曲线C与直线l相交于P,Q两点,以PQ为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】(1)对于曲线C:由=4cos可得2=4cos,坐标化即可,对于l,消去t整理可得;(2)由(1)可知圆和半径,可得弦心距,进而可得弦长,可得面积【解答】解:(1)对于曲线C:由=4co
9、s,得2=4cos,x2+y2=4x对于l:由(t为参数),消去t可得,化为一般式可得;(2)由(1)可知C为圆,且圆心为(2,0),半径为2,弦心距,弦长,以PQ为边的圆C的内接矩形面积21. 在平面直角坐标系中,已知点A(,0),B(,0),直线MA,MB相交于点M,它们的斜率之积为常数m(m0),且MAB的面积最大值为,设动点M的轨迹为曲线E()求曲线E的方程;()过曲线E外一点Q作E的两条切线l1,l2,若它们的斜率之积为1,那么是否为定值?若是,请求出该值;若不是,请说明理由参考答案:【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题【分析】()设M(x,y),由题意和斜率公式列出方程并化简
10、,根据题意求出曲线E的方程;()设Q(x0,y0),由曲线E的方程和题意画出图象,由圆的切线的性质求出OQ,由两点之间的距离公式列出式子,由向量的坐标运算和数量积运算化简,即可求出为定值【解答】解:()设M(x,y),且A(,0),B(,0),由题意得kMA?kMB=m,即(),化简得,y2=m(x23)(m0),则mx2y2=3m(),MAB的面积最大值为,当m=1时,方程为x2+y2=3满足条件,则曲线E的方程是x2+y2=3();()是定值,设Q(x0,y0),由()知曲线E:原点为圆心,为半径的圆(除A,B点),过E外一点Q作E的两条切线l1,l2,且它们的斜率之积为1,l1l2,切点
11、分别是M和N,即QNQM,如图所示:连接OM、ON、OQ,由圆的切线的性质得,ONNQ,OMMQ,ONQOMQ,则ONQ是等腰直角三角形,0N=,OQ=3,即,=(x0,y0)?(x0,0y0)=,是定值为622. 已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角的值参考答案:【考点】参数方程化成普通方程【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1t2|,得到的三角方程,解方程得到的值,要注意角范围【解答】解:(1)cos=x,sin=y,2=x2+y2,曲线C的极坐标方程是=4cos可化为:2=4cos,x2+y2=4x,(x2)2+y2=4(2)将代入圆的方程(x2)2+y2=4得:(tcos1)2+(tsin)2=4,化简得t22tcos3=0设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,|AB|=|t1t2|=,|AB|=,=cos0,),或直线的倾斜角或