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1、【优化方案】 2020高中数学第2 章 232 第一课时知能优化训练新人教B版必修 5 1 / 5 1首项为a的数列 a 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n 项和 S 为( ) n n Aan1 Ban C ( n 1) a Dna 分析：选 D. 既是等差数列又是等比数列的数列为常数列4 ) 2设等比数列 an 的公比q 2，前n项和为Sn，则S 等于 ( a2 A 2 B4 15 17 C. 2 a11q4 D. 2 1q2 ， a2a1q，因此S4 1q . 又由于q 2，分析：选 C. 由于S41q q a2 因此S453 15 2 . a 2 2 3设 a n 是由正数构成
2、的等比数列，公比q 2，且a 123 30 230，那么的值是 ( ) a a a a a a a 3 6 9 30 A 210 B220 C 216 D215 30 1529 30 分析：选 B. a1a2a3 a30a1 q 2 ，10 529 10 a q 2 . 1 10 531 10 529 q 10 10 529 10 与 q 2 代入，又 a3 a6a9 a30 a1 q a1 q ，将 a1 q 2 3 6 9 a 302 10 10 20 ，应选 B. 22 a a a 4等比数列 an 的首项为1，公比为q( q1) ，前n项之和为Sn，则1 1 1 1 a a a a 1
3、 2 3 n 等于 _ n 1qn ，数列 1 1，公比为1 .分析： S q n 也为等比数列，首项为q a 1 11 1 1qn1qn n 1 a1 a2 an 1 1qq 1q【优化方案】 2020高中数学第2 章 232 第一课时知能优化训练新人教B版必修 5 2 / 5 Sn qn1. Sn 答案：qn 1 5数列 an 的前n 项和为Sn，已知a11， an 1 n 2Sn( n1,2,3 n ) Sn (1) 求证数列 n 是等比数列；(2) 求证 Sn 14an. n 2 证明： (1) an1Sn1Sn，an1nSn， ( n2) Snn( Sn 1Sn) ，整理，得 nSn
4、 1 2( n 1) Sn，Sn1Sn 2. n 1n Sn 故数列 n 是首项为1，公比为 2 的等比数列Sn 1Sn1 (2) 由 (1) 知，n14n1( n2) ，n 1 于是 Sn 1 4n1Sn14an( n2) 又 a23S1 3，故 S2 a1 a2 44a1，故关于随意正整数n1，都有 Sn 1 4an( n N) 1 (2020 年济南高二检测 ) 等比数列 a 中，aa a 2 n 2 2 2 1，则 a a a n 1 2 n 1 2 n () n 2 1 n A (2 1) B. 3(2 1) n 1 n C4 1 n D. 3(4 1) 2 分析：选 D. 由a a
5、 a 2 1 知数列 a 的首项为 a 1 ，公比 q 2，数列 a 1 2 n n 1 n 也为等比数列，首项为1，公比为 4. 2 2 a 2 1 1 4n 1 n 12 n (4 1) a a 1 4 3 【优化方案】 2020高中数学第2 章 232 第一课时知能优化训练新人教B版必修 5 3 / 5 2 (2020 年高考海南、宁夏卷) 等比数列 an 的前n项和为Sn，且 4a1, 2a2，a3成等差数列若 a 1，则 S ( ) 1 4 A 7 B8 C 15 D16 分析：选 C. 设公比为，则由 4 2 34 a 1，q a a 即 4a1qa1q2 4a1，又a 1 1，q
6、 2 4 4 0，q q 2，124 S412 15. an 的前n项和Sn1 nn 3假如数列2n(3 2 ) ，那么这个数列 () A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列1 nn 3 n 分析：选 B. Sn2n(3 2 ) (2) 1，13 n 1an SnSn 1 ( )，2 2 1 当 n1 时， a1 S12也合适上式应选B. 4设Sn为数列2 n 1 ，则 Sn的值为 () an 的前n项和，an 1 2 2 2 A 2n 1 B2n1 1 n n 1 n 2 C 2 n 2 D2 分析：选 D. an 12
7、22 2n1 1 1 2n n 1 2 2 1，n 2 1 2n n S 1 2 2n1n 2.5已知等比数列 a 的各项为均不等于1 的正数，数列 b 知足b ln a，b3 18，b6 n n nn 12. 则数列 b 的前n项和的最大值等于 ( ) n A 126 B130 C 132 D134 分析：选 C. 由题知a b 18 ，12 n e n，3 e 6 e ，a a 3 6 6 2 24 2n a q e， qe， a e ，a n 3 b 0， b 24 2n， b 是递减的等差数列，且n n 12 Sn 最大 S11 S12 132.6已知等比数列 a 的公比q 5 4 S
8、 a S a S a S a CS a S a D没法确立4 5 5 4 分析：选 B. S4a5S5a4S4a4q( a1qS4) a4S4a4qa1a4S4a4qa1a4. q0，即 S4a5S5a4. 7一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于其上边一层的2 倍，一共点了381 盏灯，则基层所点灯的盏数是_ 1 分析：由题意知每层所点灯的盏数构成一个等比数列，首项为x，公比为2，则【优化方案】 2020高中数学第2 章 232 第一课时知能优化训练新人教B版必修 5 4 / 5 x1 1 7 3812 ，解得 x 192. 1 12 答案： 192 1 n n n 8已知 a 是等比数列，
9、a2 2，a54，则 a1a2 a2a3 a a 1 _. 分析：设 an 的首项为a1，公比为q，a1q 2 a1 4 则1 41 ，解得q 1. a q 4 2 数列 anan 1 是首项为1 8，公比为4的等比数列，故 a1a2 a2a3 an an 1 1 8 14n 321 1 3 (1 4n) 14 321 答案：3 (1 4n) 1 1 1 1 9Sn 123458 (2 n 1) 2n _. n 1 1 1 分析： S 12 34 (2 n 1) 2n 1 1 1 1 3 (2 n 1) ( 24 2n)21n 12n.21答案： n 12n 10记等比数列 a 的前n项和为S
10、 ，已知 S 1，S 17，求数列的公比 q. n n 4 8 解：法一：设数列 an 的首项为a1，公比为q，1 14 S4a q 1，1q 则有解得 q 2. 1 8 8 a 1q 17，S 1q 法二：由于数列 an 是等比数列，n 因此有 Sn kq k. 由 S4 1， S8 17，kq4k 1，得kq8k17，解得q 2. 22an 11已知数列 an 的首项a13，an1an1，n 1,2 ， . 1 (1) 证明：数列 1 是等比数列；ann (2) 求数列 的前n项和Sn. an【优化方案】 2020高中数学第2 章 232 第一课时知能优化训练新人教B版必修 5 5 / 5
11、 2an 解： (1) 证明：an 1an1， 1 an 1 1 1 1 ，an12an2 2an 111( 11)，an12 an 2 1 1 又 a13，a1 12，数列 1 1 为首项，1 1是以2 为公比的等比数列an 2 1 1 1 1 (2)由 (1) 知 1n1n，an2 22 即1 1 1，n n . a n n n n 2 a 2 n 1 2 3 n 设 T 222 2 n n 2 3 1 1 2 n1 n 则2T 2 2 2 2 n 2 3 n n 1 得1 1 1 1 n 2T 2222 n 1 n 2 n 1 1 2 12n n 1 n 12n 1 12n2n1，121
12、nTn 2n 1n.2 2 n 1 n 又 12 3 n，2 n 数列 的前n项和an n2 n 4 2n n n 1 n 2 2n n . S 2 2 2 2 12设数列 a n 的前n 项和n 2 a n 2n. S (1) 求 a3， a4；(2) 证明： an 1 2an 是等比数列；(3) 求 an 的通项公式解： (1) 由于a1S1, 2a1S12，因此a1 2，S1 2. 由 2an Sn2n知 2an1 Sn1 2n1 a S2 n 1 S n1 ，得 a 2 ，n 1 n n1 n 因此 a2S1 22 2226， S2 8；a3 S2 23 823 16， S3 24； a4 S3 24 40. (2) 证明：由题设和式知 an 12an ( Sn 2n1) ( Sn2n) 2n1 2n 2n. 因此数列 an1 2an 是首项为2，公比为2 的等比数列(3) 由 (2) 知an ( an 2an 1) 2( an 1 2an 2) 2n2( a2 2a1) 2n1a1 ( n1) 2n1.
