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1、word 初等数论习题集第 1 章第 1 节1. 证明定理1。2. 证明：若mp mnpq，则 mp mqnp。3.证明：任意给定的连续39 个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11 整除。4. 设 p 是 n 的最小素约数，n = pn1，n1 1，证明：若p 3n ，则 n1是素数。5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得 n 不能表示为a2p（a 0 是整数， p 为素数）的形式。第 2 节1.证明： 12 n4 2n3 11n2 10n，n Z。2. 设 3 a2b2，证明： 3 a 且 3 b。3.设 n，k 是正整数，证明：nk与 nk + 4的个位数字相同。
2、4.证明：对于任何整数n，m， 等式 n2 (n 1)2 = m2 2 不可能成立。5. 设 a 是自然数，问a4 3a2 9 是素数还是合数？6.证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。第 3 节1.证明定理1 中的结论 ()( )。2.证明定理2 的推论 1, 推论 2 和推论 3。3.证明定理4 的推论 1 和推论 3。4.设 x，yZ，17 2x 3y，证明： 17 9x 5y。5. 设 a，b， c N，c 无平方因子， a2b2c，证明： a b。6.设 n 是正整数，求1223212C,C,Cnnnn的最大公约数。第 4 节1. 证明定理
3、1。2.证明定理3 的推论。3. 设 a，b 是正整数，证明：(ab)a, b = ab, ab。4. 求正整数a，b，使得 ab = 120，(a, b) = 24，a, b = 144。word 5.设 a，b， c 是正整数，证明：),)(,)(,(),(,22accbbacbaaccbbacba。6. 设 k 是正奇数，证明：1 2 9 1k 2k 9k。第 5 节1.说明例 1 证明中所用到的四个事实的依据。2.用辗转相除法求整数x，y，使得 1387x 162y = (1387, 162) 。3.计算： (27090, 21672, 11352) 。4. 使用引理1 中的记号，证明
4、：(Fn + 1, Fn) = 1。5. 若四个整数2836，4582，5164，6522 被同一个大于1 的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？6.记 Mn= 2n 1，证明：对于正整数a，b，有 (Ma, Mb) = M(a, b)。第 6 节1.证明定理1 的推论 1。2.证明定理1 的推论 2。3.写出 22345680 的标准分解式。4. 证明： 在 1, 2, , 2n 中任取 n 1 数，其中至少有一个能被另一个整除。5.证明：n1211（n 2）不是整数。6.设 a，b 是正整数，证明：存在a1，a2， b1，b2，使得a = a1a2， b = b1b2，
5、(a2, b2) = 1，并且 a, b = a2b2。第 7 节1.证明定理1。2.求使 12347!被 35k整除的最大的k 值。3. 设 n 是正整数， x 是实数，证明：1122rrrn= n。4.设 n 是正整数，求方程x2 x2 = ( x x)2 在1, n中的解的个数。5.证明：方程f(x) = x 2x 22x 23x 24x 25x = 12345 word 没有实数解。6. 证明： 在 n!的标准分解式中，2 的指数 h = n k，其中 k 是 n 的二进制表示的位数码之和。第 8 节1. 证明：若2n 1 是素数，则n 是 2 的乘幂。2.证明：若2n 1 是素数，则
6、n 是素数。3.证明：形如6n 5 的素数有无限多个。4.设 d 是正整数， 6|d，证明：在以d 为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。5.证明： 对于任意给定的正整数n，必存在连续的n 个自然数， 使得它们都是合数。6. 证明：级数11nnp发散，此处使用了定理1 注 2 中的记号。第 2 章第 1 节1.证明定理1 和定理 2。2.证明定理4。3.证明定理5 中的结论 ()( )。4.求 81234被 13 除的余数。5. 设 f(x)是整系数多项式，并且f(1), f(2), , f(m)都不能被 m 整除，则 f(x) = 0 没有整数解。6.已知 9942762，
7、求与。第 2 节1.证明定理1。2.证明：若2p 1 是奇素数，则(p!)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。3.证明：若p 是奇素数， N = 1 2 ( p 1)，则(p 1)! p 1 (mod N)。4.证明 Wilson 定理的逆定理：若n 1，并且(n 1)! 1 (mod n)，则 n 是素数。5.设 m 是整数， 4 m，a1, a2, , am与b1, b2, , bm 是模 m 的两个word 完全剩余系，证明：a1b1, a2b2, , ambm不是模 m 的完全剩余系。6.设 m1, m2, ,mn是两两互素的正整数，i（1 i n）是整数，并且i 1 (mod
8、mi)，1 i n，i 0 (mod mj)，i j，1 i, j n。证明：当bi通过模 mi（1 i n）的完全剩余系时，b11b22bn n通过模 m = m1m2mn的完全剩余系。第 3 节1.证明定理1。2.设 m1, m2, , mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩余系（ 1 in） ，m = m1m2mn，Mi =imm，则M1x1M2x2 Mnxn通过模 m 的简化剩余系。3.设 m 1，(a, m) = 1，x1, x2, , x(m)是模 m 的简化剩余系，证明：)(1)(21miimmax。其中 x表示 x 的小数部分。4.设 m 与 n是正整数，证明：(m
9、n) (m, n) = (m, n) (m) (n)。5.设 a， b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m 与 n，使得a (m) = b (n)。6.设 n 是正整数，证明：() (n) n21；() 若 n 是合数，则(n) nn 。第 4 节1. 证明： 1978103 19783能被 103整除。2.求 313159被 7 除的余数。3.证明：对于任意的整数a，(a, 561) = 1 ，都有 a560 1 (mod 561)，但 561 是合数。word 4. 设 p，q 是两个不同的素数，证明：pq 1qp 1 1 (mod pq)。5.将 612 1 分解成素因数之积
10、。6.设 n N，b N，对于 bn 1 的素因数，你有甚麽与例6 相似的结论？第 5 节1.证明例 2 中的结论。2.证明定理2。3.求ndd|1。4.设 f(n)是积性函数，证明：() npndpfdfd|)(1 ()()() npndpfdfd|2)(1()()(。5.求 (n)的 Mobius 变换。第 3 章第 1 节1.证明定理3。2.写出 789 的二进制表示和五进制表示。3.求218的小数的循环节。4.证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。5.证明：既约正分数nm的 b 进制小数 (0 a1a2a3)b为有限小数的充要条件是n 的每个素因数都是b 的素
11、因数。第 2 节1.设连分数1, 2, , n, 的第 k 个渐近分数为kkqp，证明：kkkkaaaakaaaaakqp100011000011000120000001100011000011000121000111313，word 2.设连分数1, 2, , n, 的第 k 个渐近分数为kkqp，证明：1121011011011kkkkkqqppaaa，k 2。3.求连分数 1, 2, 3, 4, 5, 的前三个渐近分数。4.求连分数 2, 3, 2, 3, 的值。5.解不定方程： 7x 9y = 4。第 3 节1.证明定理4。2.求13 的连分数。3.求32的误差 10 5的有理逼近。4
12、.求 sin18 的误差 10 5的有理逼近。5.已知圆周率 = 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, ，求的误差 10 6的有理逼近。6.证明：251连分数展开的第k 个渐近分数为kkFF1。此处 Fn是Fibonacci 数列。第 4 节1.将方程 3x2 2x 2 = 0 的正根写成连分数。2.求 = 3,2, 1之值。3.设 a 是正整数，求12a的连分数。4.设无理数d = a1, a2, , an, 的第 k 个渐近分数为kkqp，证明：1212,aaaadn的充要条件是pn = a1qnqn1，dqn = a1pnpn1。5.设无理数d = a1, a2,
13、 , an, 的第 k 个渐近分数为kkqp，且正整数 n 使得pn = a1qnqn1，dqn = a1pnpn1，word 证明：() 当 n 为偶数时， pn，qn是不定方程x2dy2 = 1 的解；() 当 n 为奇数时， p2n，q2n是不定方程x2dy2 = 1 的解。第 4 章第 1 节1.将10517写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5 和 7。2.求方程 x1 2x2 3x3 = 41 的所有正整数解。3.求解不定方程组：112052732321321xxxxxx。4.甲班有学生7人，乙班有学生11 人，现有 100 支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅
14、笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？5. 证明：二元一次不定方程axby = n，a 0， b 0，(a, b) = 1 的非负整数解的个数为abnabn或 1。6.设 a 与 b 是正整数， (a, b) = 1 ，证明： 1, 2, , abab 中恰有2)1)(1(ba个整数可以表示成axby（x 0，y 0）的形式。第 2 节1.证明定理2 推论。2.设 x，y，z 是勾股数， x 是素数，证明：2z 1，2(xy 1)都是平方数。3.求整数 x，y，z，x y z，使 xy，xz，yz 都是平方数。4.解不定方程： x2 3y2 = z2，x 0，y 0，z 0， (x,
15、 y ) = 1。5.证明下面的不定方程没有满足xyz 0 的整数解。() x2y2z2 = x2y2；() x2y2z2 = 2xyz。6.求方程 x2y2 = z4的满足 (x, y ) = 1，2 x 的正整数解。第 3 节1. 求方程 x2xy 6 = 0 的整数解。word 2. 求方程组180333zyxzyx的整数解。3. 求方程 2x 3y = 1 的正整数解。4.求方程zyx111的正整数解。5.设 p 是素数，求方程yxp112的整数解。6. 设 2n 1 个有理数a1, a2, , a2n 1满足条件 P：其中任意2n 个数可以分成两组，每组n 个数，两组数的和相等，证明
16、：a1 = a1 = = a2n 1。第 5 章第 1 节1.证明定理1。2.解同余方程：() 31x 5 (mod 17) ；() 3215x 160 (mod 235) 。3.解同余方程组：)47(mod10)47(mod3853yxyx。4.设 p 是素数， 0 a n。第 4 节1.解同余方程：() 3x11 2x8 5x4 1 0 (mod 7)；() 4x20 3x12 2x7 3x 2 0 (mod 5)。2.判定() 2x3x2 3x 1 0 (mod 5)是否有三个解；() x6 2x5 4x2 3 0 (mod 5)是否有六个解？3.设(a, m) = 1，k 与 m 是正整数，又设x0ka (mod m)，证明同余方word 程xka(mod m) 的一切解 x 都可以表示成xyx0 (mod m)，其中 y 满足同余方程yk 1 (mod m)。4.设 n 是正整数， p 是素数， (n, p 1) = k，证明同余方程xn 1 (mod p)有 k 个解。5.设 p 是素数，证明：() 对于一切整数x， xp 1 1 (x 1) (x 2)(xp 1) (mo
