《《常微分方程》答案习题2.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《常微分方程》答案习题2.3（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word 习题 2.3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. 0)2()(2dyyxdxyx解：1yM，xN=1 . 则xNyM所以此方程是恰当方程。凑微分，0)(22xdyydxydydxx得 ：Cyxyx233120)4()3(2dyxydxxy解：1yM，1xN . 则xNyM . 所以此方程为恰当方程。凑微分，0432ydydxxxdyydx得Cyxyx23230)(11)(2222dyyxxydxxyxy解：3422)(2)() 1)(2)(2yxxyyxyxyyxyyM3422)(2)()(2)(2yxxyyxyxxyxxxN则yNxM . word 因此此方程是恰当方
2、程。xyxyxu1)(22（1）22)(1yxxyyu（2）对（1）做x的积分，则)(1)(22ydxxdxyxyu=yxy2)(lnyx（3）对（3）做y的积分，则dyydyxyyxyyu)()(2)()1(22=dyydyxyxy)()(222=22)(1yxxy则11)(21)(2)(1)(2222222yyxyxyxyyxxyyyxxydyydyydyyyln)11()(yxxyxyyxyxyyxyyyxyxyulnlnlnln222故此方程的通解为Cyxxyxyln4、0)2(3)23(22232dyyyxdxxxy解：xyyM12，xyxN12 . xNyM . 则此方程为恰当方程
3、。word 凑微分，036462232dyyydyxdxxdxxy0)()()(33422xdxdyxd得 ：Cyyxx322435.(y1sinyx-2xycosxy+1)dx+(x1cosxy-2yxsinyx+21y)dy=0 解：M=y1sinyx-2xycosxy+1 N=x1cosxy-2yxsinyx+21yyM=-21ysinyx-3yxcosyx-21xcosxy+3xysinxyxN=-21ysinyx-3yxcosyx-21xcosxy+3xysinxy所以，yM=xN，故原方程为恰当方程因为y1sinyxdx-2xycosxydx+dx+x1cosxydy-2yxsin
4、yxdy+21ydy=0 d(-cosyx)+d (sinxy)+dx+d(-y1)=0 所以， d(sinxy-cosyx+x -y1)=0 故所求的解为 sinxy-cosyx+x -y1=C 求下列方程的解：62x(y2xe-1)dx+2xedy=0 解：yM= 2x2xe, xN=2x2xe所以，yM=xN，故原方程为恰当方程又 2xy2xedx-2xdx+2xedy=0 word 所以， d(y2xe-x2)=0 故所求的解为 y2xe-x2=C 7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解：exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以，
5、 d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即 d ex( x2-2x+2)+ x3y2=0 故方程的解为 ex( x2-2x+2)+ x3y2=C 8. 2xydx+( x2+1)dy=0 解：2xydx+ x2dy+dy=0 d( x2y)+dy=0 即 d(x2y+y)=0 故方程的解为 x2y+y=C 9、dxyxxdyydx22解：两边同除以22yx得dxyxxdyydx22即，dxyxarctgd故方程的通解为cxyxtgarg10、03dyyxydx解：方程可化为：ydyyxdyydx2即，ydyyxdword 故方程的通解为：cyyx221即：cyyx22同时， y=
6、0 也是方程的解。11、01xdydxxyy解：方程可化为：dxxyxdyydx1dxxyxyd1即：dxxyxyd1故方程的通解为：cxxy1ln12、02xdydxxy解：方程可化为：dxxxdyydx2dxxyd故方程的通解为：xcxy即：xcxy13、02xdydxyx解：这里xNyxM,2，xNyMxNxNyM1方程有积分因子xedxx1两边乘以得：方程022dyxdxyxx是恰当方程故方程的通解为：cdydxxyxyxdxxyx22222cyxx333即：cyxx23314、0cossincosdyyxxdxyxyxxword 解：这里yxxNyxyxxMcos,sincos因为y
7、xxyxxNyMsincos故方程的通解为：cdydxyxyxxyyxxdxyxyxxsincoscossincos即：cyxxsin15、odyxxxydxxxxycossinsincos解：这里xxxyNxxxyMcossin,sincosxNyM1MxNyM方程有积分因子：ydyee两边乘以得：方程0cossinsincosdyxxxyedxxxxyeyy为恰当方程故通解为：cdydxxxxyeyNdxxxxyeyysincossincos即：cxeyxeyycos1sin16、053243xdyydxyxdyydxx解：两边同乘以yx2得：05324352423ydyxdxyxydyx
8、dxyx05324yxdyxd故方程的通解为：cyxyx532417、 试导出方程0),(),(dyYXNdxYXM具有形为)(xy和)(yx的积分因子的充要条件。解：若方程具有)(yx为积分因子，word xNyM)()(（)(yx是连续可导）xNxNyMyM)(xNyMxNyM)1(令yxzdzdxzdzdx，dzdy . )(yMxNdzdNdzdM，)()(yMxNdzdNM，NMyMxNd，dzyxdz)(方程有积分因子)(yx的充要条件是：NMyMxN是yx的函数，此时，积分因子为dzzeyx)()( . )2(令yxzdzdyxzdzdx，dzdxyzdzdy)(yMxNdzdN
9、ydzdMx)()(yMxNdzdNyMxNyMxyMxNdword 此时的积分因子为dzNyMxyMxNexy)(18. 设),(yxf及yf连续, 试证方程0),(dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子 . 证: 必要性若该方程为线性方程 , 则有)()(xQyxPdxdy , 此方程有积分因子dxxPex)()(,)(x只与x有关 . 充分性若该方程有只与x有关的积分因子)(x . 则0),()()(dxyxfxdyx为恰当方程 , 从而dxxdyyxfx)(),()( ,)()(xxyf , )()()()()()()()(xQyxPxQyxxxQdyxxf .
10、其中)()()(xxxP . 于是方程可化为0)()(dxxQyxPdy即方程为一阶线性方程 . 20. 设 函 数f(u) ， g(u) 连 续 、 可 微 且f(u)， 试 证 方 程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1证：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 两边同乘以 u 得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则yuyf=uf+uyyf+yfyu=)(gfxyf+)(gfxyyfy-yf222)()(gfyxygxyyfxygfx=2)(gfxyyfgyygyf=2)(gfxyxyxyfgyxyxygfword =2
11、)(gfxyfgxygf而xuxg=ug+uxxg+xgxu=)(gfxyg+)(gfxyxgx- xg222)()(gfyxxgxyxfxygfy=2)(gfxyxxyxyfxgxxyxygxf=2)(gfxyfgxygf故yuyf=xuxg，所以 u 是方程得一个积分因子21假设方程（ 2.43）中得函数 M（x,y）N(x,y)满足关系xNyM= Nf(x)-Mg(y), 其中 f(x),g(y)分别为 x 和 y 得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子 u=exp(dxxf)(+dyyg)() 证明： M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证xuNyuM)()(uyM+Myu=
12、uxN+Nxuu(yM-xN)=Nxu- Myuu(yM-xN)=Nedyygdxxf)()(f(x) -M edyygdxxf)()(g(y)u(yM-xN)=edyygdxxf)()(Nf(x)-Mg(y) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为：;,oyyxQyxPdxdyn两边同乘以ny，令nyz，,11xQnzxPndxdz线性方程有积分因子：dxxPndxxPnee11，故原方程的积分因子为：word dxxPndxxPnee11，证毕！23、设yx,是方程0,dyyxNdxyxM的积分因子，从而求得可微函数yxU,，使得.Ndy
13、MdxdU试证yx,也是方程0,dyyxNdxyxM的积分因子的充要条件是,Uyx其中t是t的可微函数。证明：若u，则NuMuyMyuMuyMyMuyM又yMMuNuyMMuNuxNxNuxN即为0,dyyxNdxyxM的一个积分因子。24、设yxyx,21是方程0,dyyxNdxyxM的两个积分因子， 且21常数，求证c21（任意常数） 是方程0,dyyxNdxyxM的通解。证明：因为21,是方程0,dyyxNdxyxM的积分因子所以oNdyMdxii2 ,1i为恰当方程即xNyMyMxNiii，2 ,1i下面只需证21的全微分沿方程恒为零事实上：word 021212212221122222212122222111221xNyMxNyMNdxyMxNyMxNNdxdxyNMdxxdxyNMdxxdyydxxdyydxxd即当c21时，c21是方程的解。证毕！
