解析汇报几何中地定点、定值问题(含答案)

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1、标准文档实用文案解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质 (定点、定值等 )，体会“设而不求” 、 “整体代换”在简化运算中的作用【教学难、重点】解题思路的优化【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、 过直线4x上动点P作圆224Oxy：的切线PAPB、， 则两切点所在直线AB恒过一定点 此定点的坐标为_【答案】 (1,0)xyAB4P【解析】设动点坐标为(4,tP），则以 OP 直径的圆C 方程为：(4)()0 x xy yt，故AB是两圆的公共弦，其方程为44xty注：部分优秀学生可由200 x xy yr公

2、式直接得出令4400 xy得定点 (1,0) . 2、已知 PQ 是过椭圆22: 21Cxy中心的任一弦，A是椭圆C上异于 PQ、的任意一点若APAQ、分别有斜率12kk、，则12kk=_ 【答案】 - 2 【解析】设00( , ),(,)P x yA xy，则(,)Qxy220001222000yyyyyykkxxxxxx，又由A、P均在椭圆上，故有：2200222121xyxy，标准文档实用文案两式相减得2222002()()0 xxyy，220122202yykkxx3、椭圆1273622yx，过右焦点F作不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则:NFAB等于

3、 _.1=24e【答案】14【解析】设直线AB斜率为k，则直线方程为3yk x,与椭圆方程联立消去y整理可得22223424361080kxk xk,则221212222436108,3434kkxxx xkk, 所以1221834kyyk,则AB中点为222129,3434kkkk.所以AB中垂线方程为22291123434kkyxkkk, 令0y, 则22334kxk, 即223,034kNk,所以222239(1)33434kkNFkk.2221212236 11434kABkxxx xk, 所以14NFAB.、已知椭圆22221(0)xyabab，FA,是其左顶点和左焦点，P是圆222

4、byx上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是标准文档实用文案【答案】 e=215【解析】因为PAPF常数，所以当点P分别在（ b， 0）时比值相等，即+=+aba bbcb c，整理得：2bac，又因为222bac，所以220acac同除以 a2可得 e2+e-1=0，解得离心率e=215二、典例讨论例、如图， 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C：22142xy的左顶点为A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于 P，Q 两点，直线PA， QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论yxNMQOAP分

5、析一：设PQ的方程为ykx，设点00,Pxy（00 x） ，则点00,Qxy联立方程组22,24ykxxy消去y得22412xk标准文档实用文案所以02212xk，则02212kyk所以直线AP的方程为22112kyxk从而220,112kMk同理可得点220,112kNk所以以 MN 为直径的圆的方程为22222()()0112112kkxyykk整理得：222222()20112112kkxyykk由22200 xyy，可得定点(2, 0)F分析二 ：设 P（x0，y0），则 Q（ x0，y0），代入椭圆方程可得220024xy由直线PA 方程为：00(2)2yyxx，可得0020,2yM

6、x，同理由直线QA 方程可得0020,2yNx，可得以MN为直径的圆为2000022022yyxyyxx，整理得：2220020002240224yyyxyyxxx由于220042xy，代入整理即可得2200204204x yxyyx此圆过定点(2, 0)F分析三 ：易证：2212APAQbkka，故可设直线AP斜率为k，则直线AQ斜率为12k.标准文档实用文案直线AP方程为(2)yk x，从而得(0, 2 )Mk，以12k代k得10,Nk故知以 MN 为直径的圆的方程为21(2 )()0 xykyk整理得：2212(2 )0 xyk yk由22200 xyy，可得定点(2, 0)F. 分析四

7、、设(0,),(0,)MmNn，则以 MN 为直径的圆的方程为2()()0 xymyn即22()0 xymn ymn再由221=2APAQAMANbkkkka得2mn-，下略例 2、已知离心率为e的椭圆C2222:1(0)xyabab恰过两点(1)e，和20，. (1) 求椭圆C的方程；(2) 已知AB MN、为椭圆C上的两动弦，其中MN、关于原点O对称，AB过点(1, 0)E，且AB MN、斜率互为相反数. 试问：直线AMBN、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(1) 由题意：2222232111aeebab所以椭圆C的方程为2214xy.(2) 设AB方程为(1)yk x，11(,

8、)A xy，22(,)B xy，则MN方程为ykx又设33(,)M xkx，33(,)NxkxxyONBEAM标准文档实用文案1323132313231323(1)(1)AMBNykxykxk xkxk xkxkkxxxxxxxx则整理得：132323131323(1)()(1)()()()AMBNkxxxxxxxxkkxxxx212312132322()()()AMBNkx xxxxkkxxxx由22(1)44yk xxy消元整理得：2222(41)8440kxk xk，所以22121222844,4141kkxxx xkk又由2244ykxxy消元整理得：22(41)4kx，所以23244

9、1xk将、代入式得：0AMBNkk.例 2(变式 )、已知离心率为e的椭圆C2222:1(0)xyabab恰过两点(1)e，和20，. (3) 求椭圆C的方程；(4) 已 知ABMN、为 椭 圆C上 的 两 动 弦 ， 其 中MN、关 于 原 点O对 称 ，AB过 定 点(, 0),(22)E mm，且AB MN、斜率互为相反数. 试问： 直线AMBN、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(3) 由题意：2222232111aeebab所以椭圆C的方程为2214xy.(4) 设AB方程为()yk xm，11(,)A xy，22(,)B xy，xyONBEAM标准文档实用文案则MN方程为y

10、kx又设33(,)M xkx，33(,)Nxkx1323132313231323()()AMBNykxykxkkxxxxk xmkxk xmkxxxxx则整理得：132323131323()()()()()()AMBNkxxm xxxxm xxkkxxxx212312132322()()()AMBNkx xxm xxkkxxxx由22()44yk xmxy消元整理得：22222(41)8440kxk mxk m，所以222121222844,4141k mk mxxx xkk又由2244ykxxy消元整理得：22(41)4kx，所以232441xk将、代入式得：0AMBNkk.三、课外作业1、

11、已知椭圆22+142xy， A、B 是其左、右顶点，动点M 满足 MBAB，连结 AM 交椭圆于点P，在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点，则点Q 的坐标为_【答案】（0,0 ）【解析】试题分析：设(2, ),Mt则:(2)4tAMyx，与椭圆方程联立消y得2222(8)44320txt xt，标准文档实用文案所以221628Ptxt，288Ptyt， 因此22282816228BPttkttt， 即1B P O Mkk， 点 Q 的坐标为O （0,0 ）2、已知 P是椭圆221124xy上不同于左顶点A、右顶点 B 的任意一点，记直线PA，P

12、B 的斜率分别为1212,k kkk则的值为【答案】13【解析】设( , )P x y，( 2 3,0), B(2 3,0)A则12 3ykx，22 3ykx，2122122 32 3yyyk kxxx，因为P在椭圆上，所以221124xy，即22123xy把代入，得21221123yk kx3、已知椭圆22221(0)xyabab的离心率e=12，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为,，则cos()cos()= .【答案】 7【解析】试 题 分 析 ： 因 为A,B是 椭 圆 的 左 右 顶 点 ， P为 椭 圆 上 不 同 于AB 的 动 点

13、 ，22PAPBbkka2222211132244cabbeaaa，2234PAPBbkka，标准文档实用文案31cos()coscossinsin1tantan473cos()coscossinsin1tantan144、如图所示，已知椭圆C：2214xy，在椭圆C 上任取不同两点A，B，点 A 关于 x 轴的对称点为A，当 A，B 变化时，如果直线AB 经过 x 轴上的定点T(1 ，0)，则直线A B经过 x 轴上的定点为 _【答案】 (4， 0)【解析】设直线AB 的方程为 xmy 1，由22141xyxmy得( my1)24y2 4，即 ( m24) y22my3 0.记 A( x1，

14、y1) ，B( x2，y2) ，则 A(x1， y1) ，且 y1y2224mm，y1y2234m，当 m0 时，经过点A(x1， y1) ， B(x2，y2) 的直线方程为121yyyy121xxxx. 令 y0，得x2121xxyyy1 x12121mymyyyy1 my1 12212112121my ymymy ymyyy 1 12212my yyy 1 2232424mmmm14，所以 y0 时， x4.当 m0 时，直线AB的方程为x1，此时 A， B重合，经过A， B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4 ，0) 的直线当直线AB为 x 轴时，直线AB 就是直线AB ，即 x 轴

15、，这条直线也经过点 (4 ，0) 综上所述，当点A，B 变化时，直线AB 经过 x 轴上的定点 (4，0) 5、 过椭圆22143xy的右焦点2F的直线交椭圆于于,M N两点，令22,F Mm F Nn，则_mnmn标准文档实用文案【答案】34【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN 垂直 x 轴的情况，此时MN ：x=1, 联立221431xyx，得 M （1，32）,N（1，-32） ， m=n=32，34mnmn6、 已知椭圆C的中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上，左顶点为A， 左焦点为12 0F， 点2B 2,在椭圆C上， 直线0ykx k与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y

16、轴交于点M，N（）求椭圆C的方程；（）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解析 ： （） 解法一： 设椭圆C的方程为22221 (0)xyabab，因为椭圆的左焦点为12 0F，所以224ab设椭圆的右焦点为22 0F，已知点22B,在椭圆C上，由椭圆的定义知122BFBFa，所以23 224 2a所以2 2a，从而2b所以椭圆C的方程为22184xy解法二： 设椭圆C的方程为22221 (0)xyabab，因为椭圆的左焦点为12 0F，所以224ab因为点22B,在椭圆C上，所以22421ab由解得，2 2a，2b标准文档实用文案所以椭圆C的方程为22184xy（） 解法一： 因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为22,0因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E，F，设点00,Exy（不妨设00 x） ，则点00,Fxy联立方程组22,184ykxxy消去y得22812xk所以022 212xk，则022 212kyk所以直线AE的方程为222112kyxk因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，令0 x得22 2112kyk，即