《2021届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（一模）数学（理）试题]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（一模）数学（理）试题]（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（一模）数学（理）试题一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 或2. 已知是虚数单位,复数满足,则( )A. B. C. D. 3. 在二项式的展开式中,含的项的系数是( )A. B. C. D. 4. 已知,且,则与的夹角为( )A. B. C. D. 5. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是,空气的温度是,分钟后物体的温度可由公式求得.把温度是的物体,放在的空气中冷却分钟后,物体的温度是,则约为( )()A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为,且,则( )A. B. C. D.
2、7. 设是定义域为的偶函数,若,(),都有,则大小关系正确的为( )A. B. C. D. 8. 常用的打印纸的长宽比例是,从纸中剪去一个最大的正方形后,剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”.白银比例具有很好的美感,在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台,塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比,第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比,都等于白银比例,若两观景台之间高度差为米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是( )A. 米B. 米C. 米D. 米9. 已知四棱锥,底面为矩形,点在平面上的射影为的中点.若,则四棱锥的表面积等于( )
3、A. B. C. D. 10. 由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在直角坐标系中,对称轴与轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点,平行于对称轴的光线经过点反射后,反射光线交抛物线于点,则线段的中点到准线的距离为( )A. B. C. D. 11. 已知,函数在上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D. 12. 已知函数,则函数零点的个数是( )A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分,共20分）13. 为了研
4、究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知这组数据的样本中心点为,若该班某学生的脚长为厘米,据此估计其身高为_厘米.14. 若双曲线的右顶点到其中一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率为_.15. 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一条边比另一条边长,则该容器容积的最大值为_(不计损耗).16. 如图,已知正方体,点分别是的中点,与平面_(填“平行”或“不平行”);在正方体的条面对角线中,与平面平行的面对角线有_条.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知等
5、差数列的前项和为. (1)请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件,求数列的通项公式; ; 注:如果采用多种条件组合作答,则按第一个解答计分. (2)在(1)的条件下,令,求数列的前项和.18. 年月,习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示,要求进一步加强宣传教育,切实培养节约习惯,在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示,大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者,协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一人,高二人,高三人报名参加志愿活动.根据活动安排,拟采用分层抽样的方法,从已报名的志愿者中抽取名志愿者,参加为期天的第一期志愿活动. (1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名
6、的学生中各抽取多少人? (2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取人去粘贴宣传标语,设这人中含有高二学生人,求随机变量的分布列; (3)食堂每天约有人就餐,其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量(单位:公斤),以天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内,这组志愿者记录的数据如下: 前天剩菜剩饭的重量为:后天剩菜剩饭的重量为:借助统计中的图、表、数字特征等知识,分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方法进行说明即可).19. 如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,分别为的中点,.(1)求证:; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知焦点在轴上的椭圆:,短轴长
7、为,椭圆左顶点到左焦点的距离为.(1)求椭圆的标准方程; (2)如图,已知点,点是椭圆的右顶点,直线与椭圆交于不同的两点,两点都在轴上方,且.证明直线过定点,并求出该定点坐标.21. 已知函数. (1)求证:; (2)若,时,恒成立,求实数的取值范围.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线与直线交于点. (1)求点直角坐标; (2)若直线与圆:(为参数)交于两点,求的值.22B. 已知函数=. (1)当时,求不等式的解集; (2)证明:.2021届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测（一模）数学（理）试题答案和解析 第
8、1题： 答案：A解：或,. 故选:A. 第2题： 答案：D解：因为所以, 所以, 故选:D. 第3题： 答案：B解：对于,对于,则的项的系数是. 第4题： 答案：C解：因为,所以,而向量的夹角在上,所以. 故选:C. 第5题： 答案：B解：由题意, 故选:B. 第6题： 答案：A解：在中, 由正弦定理,可得, 因为,所以,所以, 又由. 故选:A. 第7题： 答案：D解：因为若,(),都有, 所以在上单调递增; 因为是定义域为的偶函数,所以, 因为,所以, 而在上单调递增,所以, 故,即,故选:D. 第8题： 答案：D解：由题意可知:白银比例为; 设塔底为点,第一观景台为点,第二观景台为点,塔
9、顶为点,(米),(米),选项中与塔的实际高度最接近的是米. 故选:D. 第9题： 答案：A解：连接,平面,平面,所以,同理, 又,平面,所以平面,而平面,所以,同理, 因此,同理,同理,是等腰三角形,所以底边上的高为, 所以所求表面积为. 故选:A. 第10题： 答案：C解：设抛物线方程为:,将点代入可得,解得:, 所以抛物线方程为:,焦点为, 由题意可得:直线的方程为:,即, 由可得:,解得:或, 所以,可得的中点为, 所以线段的中点到准线的距离为, 故选:C 第11题： 答案：C解：由已知, 又在上单调递增, 所以,解得, 由得,又,因此, 所以. 故选:C. 第12题： 答案：B解：,
10、令,得或, 所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 且, 且当时, 令得或, 所以有两个解,有三个解, 所以函数零点的个数是个, 故选:B. 第13题： 答案：解：根据题意,计算,; , , 当时,计算, 据此估计其身高为(厘米). 故答案为: 第14题： 答案：解：右顶点为,一条渐近线方程为,即, 由题意,即,所以. 故答案为: 第15题： 答案：.解：设长方体的底面边长为,高为, 则由题可得,则可得,则, 则该容器容积, 当时,单调递增;当时,单调递减,当时,即该容器容积的最大值为. 故答案为:. 第16题： 答案：(1).不平行 , (2).解：如图建立空间直角坐标系,令正方体的
11、棱长为,则,所以,设平面的法向量为,所以,令,则,所以,所以,所以与平面不平行, 因为,所以,所以与平面平行,因为,所以与平面平行,同理可得,与平面平行,与平面不平行, 故与平面平行的面对角线有条, 故答案为:不平行,; 第17题： 答案：见解析;解：(1)选择条件,对应的基本量如下: 由,即由,即由,即解得, 所以. (2). 因为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, 所以. 第18题： 答案：见解析;解：(1)报名的学生共有人,抽取的比例为, 所以高一抽取人,高二抽取人,高三抽取人. (2)随机变量的取值为,. 所以随机变量的分布列为(3)法一、(数字特征)前天的平均值为,后天的平均
12、值为, 因为, 所以宣传节约粮食活动的效果很好. 法二:(茎叶图)画出茎叶图因为前天的重量集中在、附近,而后天的重量集中在附近, 所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少,宣传效果很好. 第19题： 答案：见解析;解：(1)证明:因为、分别为、的中点, 所以. 因为平面, 所以平面. 因为平面, 所以. 因为为矩形, 所以. 所以,在中, 所以. 因为,平面, 所以平面, 所以. (2)以为坐标原点,分别以,所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则, 所以,.由(1)知平面, 所以平面的一个法向量. 设为平面的一个法向量,则,即, 可取, 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 第
13、20题： 答案：见解析;解：(1)由得, 所以椭圆的标准方程为. (2)当直线斜率不存在时,直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧,不合题意. 所以直线斜率存在,设直线的方程为. 设、, 由得, 所以,. 因为, 所以, 即,整理得化简得, 所以直线的方程为, 所以直线过定点. 第21题： 答案：见解析;解：(1)证明:令, 则. 当时, 当时, 所以在上为减函数,在上为增函数, 所以当时,函数有最小值,. 所以,即. (2)因为, 所以. 所以. 令,则恒成立. 因为恒成立, 所以在上单调递增, 所以恒成立, 即,即恒成立. 由(1)知, 所以,解得, 所以实数的取值范围为. 第22A题： 答案：见解析;解：(1)直线的直角坐标方程为, 直线的直角坐标方程为, 联立解方程组得, 所以点的直角坐标为. (2)直线的直角坐标方程为,倾斜角为, 所以直线参数方程为(为参数), 圆的普通方程为, 将代入得. 设点对应的参数分别为,则. 第22B题： 答案：见解析;解：(1)当时,. 当时,解得; 当时,无解; 当时,解得; 综上所述:的解集为或. (2), 当且仅当时等号成立, 所以.
