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1、绝密启用前THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期1月月考理科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1设集合，则（）ABCD2已知，则（）ABCD3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（）ABCD4美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面
2、”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（）ABCD5过点作圆的两条切线，切点分别为，则所在直线的方程为（）ABCD6椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）ABCD7若，则（）ABCD8下列命题中，假命题的是（）A样本数据与样本数据，为非零常数，两组样本数据的样本平均数相同B样本，的标准差为C的二项展开式中，第项的二项式系数是D命题“，”是真命题的充要条件为9设函数，则下列结论正确的是（）A函数为偶函数B函数在区间上单调递增C函数在有且仅有个极小值点D把函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像10已知奇函数
3、在上是增函数，.若，则，的大小关系为（）ABCD11已知为坐标原点，点，则下列结论正确的是（）ABC记取最大值，则中有且只有个元素D记是的最大值，则12若双曲线：，分别为左右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，则下列说法正确的是（）A双曲线的渐近线方程为B点的运动轨迹为双曲线的一部分C若，则D不存在点，使得取得最小值二、填空题13已知球的体积为，则该球主视图的面积等于_14记为数列的前项和，若，则_.15已知四个函数：，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为_.16已知三棱锥的所有棱长都为，且球为三棱锥的外接球，点是线段上靠近点的三等分点，过点作
4、平面截球得到的截面面积为，则的取值范围为_.三、解答题17记的内角A，的对边分别为，已知.（1）求角A的值；（2）若为锐角三角形，设，求的面积.18已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?（2）若抽出的10人中有6人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这10人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率.19在中，是的中点，是线段上一个动
5、点，且，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.（1）当时，证明：平面；（2）是否存在实数，使三棱锥的体积为？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并求出与平面所成角的正弦值.20在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）曲线上存在一点，不经过点的直线与交于，两点，若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点.21已知函数.（1）当时：解关于的不等式；证明：；（2）若函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线
6、的极坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的交点分别为A，点（异于A，两点）在曲线上运动，求面积的最大值.23已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.参考答案1B求出，进而求出.解得：，故，故故选：B2C由共轭复数的定义，复数的乘法法则计算由已知故选：C3D侧面展开图是一个半圆，其半径就是圆锥的母线长，设为，根据圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长可求得的值，即可求解圆锥的侧面积.设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，则，解得，故该圆锥的侧面积为.故选：D.4A取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，设圆柱的底面半径为，计算出椭圆的长轴长和短轴
7、长，可取得的值，由此可求得椭圆的离心率.取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，如下图所示，设圆柱的底面半径为，可知，截面为直角梯形，不妨设、为直角腰，过点作，垂足为点，由题意可知，椭圆的短轴长为，则，“切面”所在平面与底面所成的角等于，所以，则，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.5B先由圆方程得到圆心和半径，求出的长，以及的中点坐标，得到以为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出所在直线方程.因为圆的圆心为，半径为，所以，的中点为，则以为直径的圆的方程为，所以为两圆的公共弦，因此两圆的方法作差得所在直线方程为，即.故选：B.本题主要考查求两圆公共弦所在直线的方法，属于常考题型.6D设点、，利用
8、点差法可求得的值.设点、，由已知可得，上述两个等式相乘得，由已知可得，两式作差得，所以，.故选：D.7C由已知得，从而同号，即，然后由平方关系求得，进而求得，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论因为，所以，所以同号，即，从而，所以，故选：C8A根据平均数的定义判断A，利用方差、标准差的计算公式计算B，根据二项式系数的定义判断C，根据存在量词命题的真假求出参数的取值范围，即可判断D；解：对于A：样本数据与样本数据，为非零常数，若第一组数据的平均数为，则第二组数据的平均数为，故A错误；对于B：样本，的平均数为，方差为，所以标准差为，故B正确；对于C：因为展开式的通项为，所以第项的二项式系数
9、是，故C正确；对于D：，为真命题，即与在上有交点，因为在上单调递增，所以，所以，故D正确；故选：A9CA选项，求出的解析式，得到函数奇偶性；B选项，代入检验是否是递增区间；C选项，数形结合求解极小值点的个数；D选项，利用伸缩变换得到变换后的解析式，判断D选项.，为奇函数，A选项错误；，故单调递减，B错误；，结合函数图象可知：有2个极小值点，C正确；函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到，D错误.故选：C10A判断函数的奇偶性与单调性，由指数函数、对数函数的性质比较幂和对数大小后利用函数性质可得结论由已知，是偶函数，又奇函数是增函数，所以时，设，则，所以，即，所以在上是增函数，
10、即故选：A.11D根据平面向量数量积的坐标表示、两角差的余弦公式及余弦函数的性质计算可得；解：因为，所以，所以，所以不一定等于，故A错误；，故B错误；因为，所以，因为，所以，所以当，即时取最大值，故中有无数个元素，故C错误，D正确；故选：D12C根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，的内切圆与、分别切于、，可得，由双
11、曲线的定义可得：，即，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；由且，解得：，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，由，可得，解得，故， C正确；若与关于y轴对称，则且，而，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，故存在使得取最小值，D错误.故选：C.方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值13由球的体积公式，可得，则，所以主视图的面积为.14由已知式令求得，然后利用的关系得出数列的递推关系，得数列为等比数列，从而由等比数列前
12、项和公式计算因为，所以，所以，即，所以是等比数列，公比为2，故答案为：15分别把四个函数的图象画出，数形结合得到符合图象有且仅有一个交点的情况，进而算出相应的概率.选时，画出两函数图象，如下图，可以看出有两个公共点，不符合要求；选时，如图，有且仅有一个公共点，符合要求；选时，如图，有且仅有一个公共点，符合要求；选时，如图，其中，故有两个公共点，不符合要求；选时，可以从图中看出无交点，故不符合题意；选时，可以从图中看出无交点，故不符合题意；综上：一共有6种情况，其中2种满足要求，故概率为故答案为：16先根据三棱锥所有棱长都为2，求出其外接球半径，可求出截面的最大面积；当球心到截面面积最大时，截面
13、的面积最小，此时球心到截面的距离为，求出截面圆的半径的最小值，进一步求出截面面积的最小值解：将三棱锥放置于正方体中，正方体的外接球就是三棱锥的外接球，已知三棱锥的所有棱长都为2，所以正方体的棱长为，外接球的直径为正方体的体对角线，即，故截面的最大面积为；因为是上的点，当球心到截面距离最大时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为，为等腰三角形，过作的垂线，垂足为，则有，所以，所得截面半径的最小值为，所以截面面积的最小值为，故截面面积；故答案为：17（1）或（2）（1）利用三角恒等变换得到，进而求出或，故或；（2）利用余弦定理求出或3，验证后得到，进而利用三角形面积公式进行求解.（1），所以，因为
14、，所以，故或，即或.（2）由第一问所求和为锐角三角形得，由余弦定理可得，化为，解得或3，若，则，即为钝角，不成立，当，经检验符合条件，的面积为.18（1）从甲、乙、丙三个部分的员工中分别抽取4人，3人，3人（2）分布列见解析，；（1）根据分层抽样的定义按比例计算可得；（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布概率公式计算出概率后得概率分布列，由期望公式计算出期望设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，根据互斥事件的概率公式计算出概率（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为433，采用分层抽样的方法从中抽取10人，因此应从甲、乙、丙三个部分的员工中分别抽取4人，3人，3人（2）
