哈工大-数值分析上机实验报告25200字 实验报告一题目： 非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]重复运行计算，直至满足精度为止这就是二分法的计算思想Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) 'f(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要另外，若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) f'(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序二分法源程序：clear.1.%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解 while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x')); R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);.2.breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：x2?0在[1，2]内的根。
5*10?6,下同) 1. 用二分法计算方程sinx?2计算结果为x= 1.40441513061523；f(x)= -3.797205105904311e-007；k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢2. 用二分法计算方程x3?x?1?0在[1，1.5]内的根计算结果为x= 1.32471847534180；f(x)= 2.209494846194815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多3. 用Newton法求解下列方程a) xex?1?0 x0=0.5；计算结果为x= 0.56714329040978；f(x)= 2.220446049250313e-016；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快3.b) x3?x?1?0 x0=1；c) (x?1)2(2x?1)?0 x0=0.45, x0=0.65；当x0=0.45时，计算结果为x= 0.49999999999983；f(x)= -8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。
当x0=0.65时，计算结果为x= 0.50000000000000；f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x0〉0.68时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取??2(x?1)2(2x?1)?0 x0=0.55；并与3.中的c)比较结果当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛改??1.5时，结果收敛为x=0.50000087704286；f(x)=4.385198907621127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上当x0=0.85时，结果收敛为x= 1.00000000000489；f(x)= 2.394337647718737e-023；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。
Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多4.实验报告二题目： Gauss列主元消去法摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解前言：（目的和意义）1. 学习Gauss消去法的原理2. 了解列主元的意义 3. 确定什么时候系数阵要选主元数学原理：(k?1)由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若akk=0，(k?1)则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去有的时候即使akk?0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确因此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象这一技术要寻找行r，使得(k?1)(k?1)|ark|?maxaik i?k(k?1)并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的akk的数值比0要大的多。
这种列主元的消去法的主要步骤如下：1. 消元过程对k=1,2,…,n-1,进行如下步骤1) 选主元，记|ark|?aik i?k若|ark|很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对2) 交换增广阵A的r，k两行的元素arj?akj (j=k,…,n+1)3) 计算消元aij?aij?aikakj/akk (i=k+1,…,n; j=k+1,……,n+1)2. 回代过程对k= n, n-1,…,1,进行如下计算.5.xk?(ak,n?1?至此，完成了整个方程组的求解程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写Gauss消去法源程序：cleara=input('输入系数阵：>>\n')b=input('输入列阵b：>>\n')n=length(b);A=[a b]x=zeros(n,1);%%%函数主体for k=1:n-1;%%%是否进行主元选取 j?k?1?ankjxj/akk)if abs(A(k,k))abs(t)p=r;else p=k;endend%%%交换元素if p~=k;for q=k:n+1;s=A(k,q);A(k,q)=A(p,q);A(p,q)=s;end.6.endend%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重if abs(A(k,k))< yipusilongdisp(‘矩阵奇异，解可能不正确’)end%%%%计算消元,得三角阵for r=k+1:n;m=A(r,k)/A(k,k);for q=k:n+1;A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;endendend%%%%求解xx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for k=n-1:-1:1;s=0;for r=k+1:n;s=s+A(k,r)*x(r);endt=(A(k,n+1)-s)x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)end结果分析和讨论：??26??x??22???y???34?。
其中为一小数，当?5?10?14?20575例：求解方程?时，??10,10,10,10?????????321????z????10??分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果记Emax为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：当??10?5时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同0.99999934768391 0.999999347826512.00000217421972 2.000002173911632.99999760859451 2.99999760869721.7.Emax= 9.301857062382624e-010，0此时，由于?不是很小，机器误差就不是很大，由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量当??10?10时，不选主元和选主元的计算结果如下1.00001784630877 0.999999999993481.99998009720807 2.000000000021743.00000663424731 2.99999999997609Emax= 2.036758973744668e-005，0此时由Emax可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。
当??10?14时，不选主元和选主元的计算结果如下。