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1、2020-2021学年广东省汕头市六都中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设,则函数的零点位于区间 ( )A(0 ,1) B (-1, 0) C(1, 2) D(2 ,3)参考答案:A2. 已知aR,则“a3”是“a22a+3”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案:A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a22a+3,解得a3或a1即可判断出结论【解答】解:a22a+3,即a22a30,解得a3或a1“a3”是“a22a+3”
2、成立的充分不必要条件故选:A3. 已知双曲线的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是A B C D参考答案:4. (5分)若从区间(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为() A B C D 参考答案:B【考点】: 几何概型【专题】: 概率与统计【分析】: 先作出图象,再利用图形求概率,由题意可设两个数为x,y,则有所有的基本事件满足,根据几何概型可求其概率解:解:由题意可设两个数为x,y,则所有的基本事件满足,如图总的区域是一个边长为e的正方形,它的面积是e2,满足两个数之积不小于e的区域的面积是e(e1)=e22e,两个数之积不小于e的概率是:=故选B【点评】: 本
3、题考查几何概率模型,求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解,熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化5. 已知集合,则( )A B C D参考答案:C6. 已知函数则方程恰有两个不同的实根时,实数的取值范围是( )A B C. D参考答案:C方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,y=f(x)与y=kx有2个交点,又k表示直线y=kx的斜率,x1时,y=f(x)=lnx,y=;设切点为(x0,y0),则k=,切线方程为yy0=(xx0),又切线过原点,y0=1,x0=e,k=,如图所示;结合图象,可得实数k的取值范围是.故答案为:C7. 若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是()A
4、BCD参考答案:A8. 若函数的图象在处的切线与圆相切,则的最大值是( )A.4 B. C.2 D.参考答案:D略9. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是( )A. B. C. D. 参考答案:C10. 定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又,则的解集是( )A(3,0)(3,+) B(,3)(0,3) C. (,3)(3,+) D(3,0)(0,3) 参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数,数列an是公比大于0的等比数列,且,则_.参考答案:【分析】
5、由于是等比数列,所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程,解方程求得的值.【详解】设数列的公比为,则是首项为,公比为的等比数列,由得,即,由,得,联立解得.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查等比数列的前项和公式,考查运算求解能力,属于中档题.12. 在中,“ ”是“ ” 的条件参考答案:【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】充要条件 若sinAsinB成立,由正弦定理 =2R,所以ab,所以AB反之,若AB成立,所以ab,因为a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinAsinB,所以sinAsinB是AB的充要条件故答案为:充要条件【思路点拨】由正弦定理知,由sinAsinB
6、,知ab,所以AB,反之亦然,故可得结论13. 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,则a3= 参考答案:6【考点】等差数列的通项公式【分析】a3=S3S2,由此能求出结果【解答】解:数列an的前n项和为Sn,且,a3=S3S2=(9+3)(4+2)=6故答案为:614. 圆心在抛物线上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为_ .参考答案:15. 已知,点P的坐标为,则当时,满足的概率为 参考答案: 16. 函数的最小正周期为 .参考答案: .17. 在直角三角形中,点是斜边上的一个三等分点,则 参考答案:由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点,所以,所以
7、,所以,所以。三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图所示的“相邻塔”形立体建筑,已知POAC和QOBD是边长分别为a和的两个正四面体,底面中AB与CD交于点O,试求出塔尖P,Q之间的距离关于边长a的函数,并求出a为多少时,塔尖P,Q之间的距离最短参考答案:【考点】点、线、面间的距离计算【分析】过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1,过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2,连结O1O2,则四边形PO1O2Q是直角梯形,由此能求出当a=时,塔尖P,Q之间的距离最短【解答】解:如图,过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1,过点Q作
8、底面OBD的垂线交底面OBD于点O2,连结O1O2,则O1,O2,O三点共线,且PO1QO2,则四边形PO1O2Q是直角梯形,在RtOPO1中,OP=a,OO1=,则PO1=,同理,得OO2=,QO2=,则PQ=,PQ=(,当a=时,等号成立),则当a=时,塔尖P,Q之间的距离最短19. (本小题满分l2分) 已知函数f(x)= (I)求曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程;()若0xa恒成立,求实数a的最大值参考答案:20. 设椭圆+=1(a)的右焦点为F,右顶点为A已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于
9、l的直线与l交于点M,与y轴于点H,若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围参考答案:【考点】椭圆的简单性质【分析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入+=,转化为关于a的方程,解方程求得a值,则椭圆方程可求;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x2),(k0),联立直线方程和椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求得B的坐标,再写出MH所在直线方程,求出H的坐标,由BFHF,得,整理得到M的坐标与k的关系,由MOAMAO,得到x01,转化为关于k的不等式求得k的范围【解答】解:(1)由+=,得,即,aa2(a23)=3a(a23),解得a=2椭
10、圆方程为;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x2),(k0),设B(x1,y1),M(x0,k(x02),MOAMAO,x01,再设H(0,yH),联立,得(3+4k2)x216k2x+16k212=0=(16k2)24(3+4k2)(16k212)=1440由根与系数的关系得,MH所在直线方程为,令x=0,得,BFHF,即1x1+y1yH=,整理得:,即8k23或21. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆()的离心率为,其焦点在圆上(1)求椭圆的方程;(2)设、是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角,使(i)求证:直线与的斜率之积为定值;(ii)求参考答案:解:(1)依题
11、意,得 c=1于是,a=,b=1 2分所以所求椭圆的方程为 4分(2) (i)设A(x1,y1),B(x2,y2),则, 又设M(x,y),因,故7分因M在椭圆上,故整理得将代入上式,并注意,得 所以,为定值 10分(ii),故又,故所以,OA2+OB2=3 14分略22. 【本题16分】有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为a(m,k)(其中m,k1,2,3,n,n3),公差为dm,并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列(1)证明:dmp1d1p2d2(3mn,p1, p2是m的多项式),并求p1p2的值;(2)当d11,d23时,将数列d
12、m分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),(每组数的个数构成等差数列)设前m组中所有数之和为(cm)4(cm0),求数列2cmdm的前n项和Sn;(3)设N是不超过20的正整数,当nN时,对于(1)中的Sn,求使得不等式 (Sn6)dn成立的所有N的值参考答案:(1)由题意知a(m,n)1(n1)dma(2,n)a(1,n)1(n1)d21(n1)d1(n1)(d2d1),同理,a(3,n)a(2,n)(n1)(d3d2),a(4,n)a(3,n)(n1)(d4d3),a(n,n)a(n1,n)(n1)(dndn1)又a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列,a(2,n)a(1,n)a(3,n)a(2,n)a(n,n)a(n1,n)故d2d1d3d2dndn1,即dn是公差为d2d1的等差数列.dmd1(m1) (d2d1)(2m)d1(m1)d2令p12m,p2m1,则dmp1d1p2d2(3mn,p1,p2是m的多项式)此时p1p21. 4(2)当d11,d23时,dm2m1数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),按分组规律,第m组中有2m1个奇数,第1组到第m组共有135(2m1)m2个奇数.前k个奇数的和为135