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1、2020-2021学年广东省汕头市六都中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则函数的零点位于区间 （ ）A(0 ,1) B (-1, 0) C(1, 2) D(2 ,3)参考答案：A2. 已知aR，则“a3”是“a22a+3”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a22a+3，解得a3或a1即可判断出结论【解答】解：a22a+3，即a22a30，解得a3或a1“a3”是“a22a+3”
2、成立的充分不必要条件故选：A3. 已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A B C D参考答案：4. （5分）若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为（） A B C D 参考答案：B【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 先作出图象，再利用图形求概率，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，根据几何概型可求其概率解：解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，如图总的区域是一个边长为e的正方形，它的面积是e2，满足两个数之积不小于e的区域的面积是e（e1）=e22e，两个数之积不小于e的概率是：=故选B【点评】： 本
3、题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化5. 已知集合，则（ ）A B C D参考答案：C6. 已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是( )A B C. D参考答案：C方程f（x）=kx恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=kx有2个交点，又k表示直线y=kx的斜率，x1时，y=f（x）=lnx，y=；设切点为（x0，y0），则k=，切线方程为yy0=（xx0），又切线过原点，y0=1，x0=e，k=，如图所示；结合图象，可得实数k的取值范围是.故答案为：C7. 若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）A
4、BCD参考答案：A8. 若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ）A.4 B. C.2 D.参考答案：D略9. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C10. 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0,+)内是增函数，又,则的解集是（ ）A(3,0)(3,+) B(,3)(0,3) C. (,3)(3,+) D(3,0)(0,3) 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，数列an是公比大于0的等比数列，且，则_.参考答案：【分析】
5、由于是等比数列，所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得的值.【详解】设数列的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，由得，即，由，得，联立解得.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.12. 在中，“ ”是“ ” 的条件参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】充要条件 若sinAsinB成立，由正弦定理 =2R，所以ab，所以AB反之，若AB成立，所以ab，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinAsinB，所以sinAsinB是AB的充要条件故答案为：充要条件【思路点拨】由正弦定理知，由sinAsinB
6、，知ab，所以AB，反之亦然，故可得结论13. 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+n，则a3= 参考答案：6【考点】等差数列的通项公式【分析】a3=S3S2，由此能求出结果【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且，a3=S3S2=（9+3）（4+2）=6故答案为：614. 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为_ .参考答案：15. 已知，点P的坐标为，则当时，满足的概率为 参考答案： 16. 函数的最小正周期为 .参考答案： .17. 在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 参考答案：由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以
7、，所以，所以。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知POAC和QOBD是边长分别为a和的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算【分析】过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，由此能求出当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短【解答】解：如图，过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作
8、底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则O1，O2，O三点共线，且PO1QO2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，在RtOPO1中，OP=a，OO1=，则PO1=，同理，得OO2=，QO2=，则PQ=，PQ=（，当a=时，等号成立），则当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短19. （本小题满分l2分） 已知函数f(x)= (I)求曲线y=f(x)在点（，f（）处的切线方程；()若0xa恒成立，求实数a的最大值参考答案：20. 设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于
9、l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BFHF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由MOAMAO，得到x01，转化为关于k的不等式求得k的范围【解答】解：（1）由+=，得，即，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2椭
10、圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x2），（k0），设B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOAMAO，x01，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根与系数的关系得，MH所在直线方程为，令x=0，得，BFHF，即1x1+y1yH=，整理得：，即8k23或21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆()的离心率为，其焦点在圆上(1)求椭圆的方程；(2)设、是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使(i)求证：直线与的斜率之积为定值；(ii)求参考答案：解：(1)依题
11、意，得 c=1于是，a=，b=1 2分所以所求椭圆的方程为 4分(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 又设M(x，y)，因，故7分因M在椭圆上，故整理得将代入上式，并注意，得 所以，为定值 10分(ii)，故又，故所以，OA2+OB2=3 14分略22. 【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k1,2,3,n，n3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列（1）证明：dmp1d1p2d2（3mn，p1, p2是m的多项式），并求p1p2的值；（2）当d11,d23时，将数列d
12、m分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，（每组数的个数构成等差数列）设前m组中所有数之和为(cm)4（cm0），求数列2cmdm的前n项和Sn；（3）设N是不超过20的正整数，当nN时，对于（1）中的Sn，求使得不等式 (Sn6)dn成立的所有N的值参考答案：（1）由题意知a(m,n)1(n1)dma(2,n)a(1,n)1(n1)d21(n1)d1(n1)(d2d1)，同理，a(3,n)a(2,n)(n1)(d3d2)，a(4,n)a(3,n)(n1)(d4d3)，a(n,n)a(n1,n)(n1)(dndn1)又a(1,n), a(2,n), a(3,n), , a(n,n)成等差数列，a(2,n)a(1,n)a(3,n)a(2,n)a(n,n)a(n1,n)故d2d1d3d2dndn1，即dn是公差为d2d1的等差数列.dmd1(m1) (d2d1)(2m)d1(m1)d2令p12m，p2m1，则dmp1d1p2d2（3mn，p1,p2是m的多项式）此时p1p21. 4（2）当d11,d23时，dm2m1数列dm分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，按分组规律，第m组中有2m1个奇数，第1组到第m组共有135(2m1)m2个奇数.前k个奇数的和为135
