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1、第一章勾股定理知识导学： 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理，在外国称为“毕达哥拉斯定理。运用勾股定理进展有关的计算和证明，在有关直角三角形求边的计算中，只要分析出两个条件。其中至少一边就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系，设未知数通过列方程来解几何题。在运用勾股定理进展证明时，要结合条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形，同时要加强分析。 典型例题： 例1. 如图在 中， 的平分线AD交BC于D，求证：。 证明： 平分 在 中， 例2. 作长为 的线段。 分析： 故只须先作出长为 的线段。 作法： (
2、1)作直角边长为1单位长的等腰直角三角形。 (2)以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为3的RtABD ,那么线段BD的长为所求。 例3. 如图， 中， 分别为BC的高和中线，求DE的长。 解：设 又 在 中， 在 中， 即 解得：例4. 如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点。 求证：。 分析：要证，一般方法是在中取一个角使之等于 ，再证明另一个角也等于， 另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角。 证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H。 ABG=HCG, BG=CG ,AGB=HGC 又 在 中，设，由勾股定理得： 又课后练习： 1. 如图， 中，D为BC
3、的中点。 求证：。 2. 如图 中，求AC的长及 的面积。 3. 如图 中，AD为 的平分线交BC于D，求AC的长。 4. 如图， 中，求BC的长。 5. 如图 中，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且， 求证：。 答案： 1.证明： 2. 解：作AB的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E 连结BE，那么 在 中，3. 解：作 交AB于E 平分 在 和 中， 在 中， 又4. 解：作 于D 由 知 又 在 中，负值舍去 5. 证明：延长FD到G使 连结AG、EG，那么EF=EG 趣话勾股定理1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派
4、和宗教团体 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的奉献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。 勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学开展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最正确选择。但是，如果人们要讲究这个定理的起源，那么常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进展的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已
5、经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作?周髀算经?中，第一章记述了西周开国时期约公元前1000年商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高答复：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。即我们常说的勾三、股四、弦五。?周髀算经?里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此
6、以上至日，那么八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进展实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“商高，陈子等利用立竿即周髀测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京今西安附近一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的方法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原那么，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践
7、的观测精神，是我们应该学习的。由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有不少出色的证明，如利用反证法证明2不是有理数，但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的快乐，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！ 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的?几何原本?里。汉朝的数学家赵君卿，在注释?周髀算经?时，附
8、了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？提示：考虑黑边框正方形的面积计算 勾股定理及其逆定理一、知识要点 1.掌握直角三角形的性质。 如图，直角ABC的性质 1勾股定理:C=90，那么有 c2=a2+b2 另外还有: 2C=90，那么有A+B=90,3C=90，那么有ca, cb。 4补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半。 如图： C=90且A=30，那么有BC=AB (或者AB=2BC) 2.掌握勾股定理的逆定理： 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理
9、为直角三角形的判定定理。 即在ABC中，假设a2+b2=c2，那么ABC为Rt。其中c是三角形中最长的边。 3.本卷须知: (1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。 (2) 理解勾股定理的一些变式 c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2 c2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c) (3) 在理解的根底上熟悉以下勾股数。 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数，显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉以下勾股数，对解题是会有帮助的： (3,4,5),(6,8,10)
10、,(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17) 如果(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 二、例题精讲: 例1、如图，在ABC中，ACB=90，AB=5cm, BC=3cm, CDAB于D，求CD的长。分析：此题考察勾股定理的应用，解题思路为先用勾股定理求AC，再运用三角形的面积公式得到SABC=BCAC=ABCD，于是不难求CD。 解：因为ABC是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有AC2=AB2-BC2=25-9=16，故AC=4。 又SABC=BCAC=ABCD CD=， CD的长是2.4cm。 解题规律：
11、1勾股定理的一个重要应用就是直角三角形的两边可以求出第三条边。因此，熟记一些平方数为勾股定理的运用提供便利。 2此题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法求CD。 例2、试判断：三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1 (n0)的三角形是否是直角三角形。 分析：条件中给出的是三边的长，要判断三角形是否为直角三角形,应考察三边的关系是否满足a2+b2=c2,但是要找出最大的边。 解： (2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10, (2n2+2n+1)-(2n+1)=2n20(n0), 2n2+2n+1为三角形中最大边。 又 (2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n
12、+1, (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形。 解题规律： 如何判定一个三角形是否是直角三角形。 首先判定出最大边如c； 验证：c2与a2+b2是否具有相等关系： 假设a2+b2=c2，那么ABC是以C为直角的直角三角形。 假设a2+b2c2，那么ABC不是直角三角形。 例3、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 分析：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b
13、2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 评注：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 例4、：如图，折叠长方形四个角都是直角，对边相等的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB=8cm, BC=10cm，求EC
14、的长。 分析:容易知道三角形AEFAED，那么AF=AD=BC=10，易求得BF、CF，在RtEFC中，满足EF2=CE2+CF2。 解：设CE=x, 那么DE=8-x, 由条件知：AEFAED，AF=AD=10， EF=DE=8-x, 在ABF中，BF2=AF2-AB2=102-82=62, BF=6, FC=4, 在RtEFC中：EF2=CE2+CF2， (8-x)2=x2+42, 即 64-16x+x2=16+x2, 16x=48, x=3, 答：EC的长为3cm。 解题规律：1.题目中有多个直角三角形，可以屡次使用勾股定理；2.利用解方程的思想来解决几何问题是今后我们常用到的数学方法。 例5.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。 分析：题目中给出的是一些线段之间的关系,如何利用线段关系来考察直线垂直呢?连接DF,我们发现考察FE与DE是否垂直,实际上就是考察三角形DEF是否为直角三
