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1、标准数列A、等差数列知识点及例题一、数列由an与Sn的关系求an由Sn求an时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表布为anS (n 1)Sn Sni(n 2)文案R例1根据下列条件，确定数列an的通项公式。Cl) a = 1 1 0K+i =344 2孑C2)a = 1 + Oh+i - (1) On f曳尸=尾,分析：(i)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。解答:(1)Ty =必+2,+ 1 = 33 + 1),二小 + 1二教列4候+ 1为等比敖列公比q
2、=3,又知+ 1=2,二%+1=2 , 3 二 4 = 2 -1(2)djrt I (1) &ftnI r小三nl Or%=a, =2, a. = l他由.=X3X2Xl=n!.(3)由空:g得&一_C + 2)a (% +2) 口二 3 一 = 的+$ 1 +4) (a a- ) 二(小+% |)4*一4 * -4 = 010;七一办 i4=0,即a & =4, 二数列丽为等差救列，且公差d=4.中 心（珀+2）又 6 = 5 =,OAi = 2 & = 2 +4 ( h -r 1) = 4 打-2.二、等差数列及其前 n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法:第一种是利用
3、定义， an an 1d（常数）（n 2）,第二种是利用等差中项，即2an an 1 an 1（n 2）。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则an是等差数歹U；B是常数），则an是等差数列。2（2）前n项和法：若数列an的前n项和Sn是Sn An Bn的形式（A注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。R例1已知数列an的前n项和为且满足SnSn1 2SngSn 10(n12)，a12(1)求证：工是等差数列;Sn(2)求an的表达式。分析:(1) Sn Sn1 2SngSn
4、1上与二SnSn 1的关系 结论;(2)，1、一，、 八 一由的关系式 Sn的关系式Snan解答:（1）等式两边同除以 SngSni得, -2 +2=0Sn1 Sn, 即-=2 ( n 2).I.H= =2 为首SnSn1SnS14项，以2为公差的等差数列。/、一、左1(2)由(1 )知二 Sn1一+Si(n-1 ) d=2+(n-1)_1,.八八1X2=2n,，Sn =一，当 n 2 时，an =2 Sn Sn 1 =。又2n2n(n 1)1212n(n 1)(n 1)(n 2)1 一 , 一 a1 一,不适合上式，故an2【例】 已知数列an的各项均为正数，a1 = 1.其前n项和Sn满足
5、2Sn = 2pa2 + an p(p e R),则an的通项公式为 L. a1 = 1,，2a1 = 2pa2+a1 p ,即 2=2p + 1 -p,得 p = 1.于是 2Sn = 2an + an1.当 n 2 时，有 2Sn-1 = 2an-1 + an-1 1,两式相减，得 2an= 2an 2an-1 + anan-1,整理，得 2(an+ an 1) (an1an -1 2)= 0.又 an0 , - an an-1 = 一,于是an是等差数列，故 an=1 + (n 1) =.222(二)等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式 an= a+ (n-1 ) d及前n项和公式S
6、n n(a一an-) na1 -( d ,共涉及五个22量a1，an , d,n, Sn，“知三求二”，体现了用 方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为 n a1 a1 (n 1),故数列且是等差数列。 n 222nR例1已知数列xn的首项x1=3,通项Xn2n pnq(n N , p,q为常数)，且x1,x4,x5成等差数列。求：(1) p,q 的值；(2)数列Xn的前n项和Sn的公式。p,q; (2)通过xn利用条件分成两个可分析：(1)由x1=3与x1 , x4, X5成等
7、差数列列出方程组即可求出求和的数列分别求和。解答：（1）由x 二3得2 P q 3455_5又 x4 2 P 4q,x5 2 p 5q,且x x 2x4，得 3 2 p 5q 2 p 8q由联立得p 1,q 1。（2）由（1）得 xn 2n n,=2t2+* + + （1+2+3-”加Im “ T)J(三)等差数列的性质1、等差数列的单调性：d=0,则数列为常数列。等差数列公差为d,若d0,则数列递增；若d1),则该数列的通项 an=.由 an+1 = 2an+3,则有 an+1 + 3 = 2(an + 3),an+1 + 3即=2.an+ 3所以数列an+3是以a1 + 3为首项、公比为2
8、的等比数列，即an+3 = 4 2nT= 2n+1,所以an=2n+1-3.7、已知方程(x2 2x + m)(x22x+n) = 0的四个根组成一个首项为 1的等差数列，则|m n|的值等于4如图所示，易知抛物线y=x22x+m与y = x22x + n有相同的对称轴x= 1 ,它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为 Xa=-,则 Xd = 一.44又|AB|=|BC| = |CD|,所以 xb=xc=5.44故|m 一n|=r4-h8、在等差数列an中，a1=3,11 a5=5a813,则数列an的前n项和Sn的最小值为设公差为 d ,则 11(-3 + 4d)=5(-3 + 7d
9、)-13,5 d = 一.9.数列an为递增数列.5令 an0,d0,且满足，前n项和Sn最大；ani 0an 0(2)若ai0 ,且满足，前n项和Sn最小；an 10(3)除上面方法外，还可将 an的前n项和的最值问题看作 Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数 的图象或配方法求解，注意 n N。R例1在等差数列3中，a16 而 胡 a36,其前n项和为Sn。(1)求Sn的最小值，并求出 Sn取最小值时n的值；(2)求Tn aa? L an。an 0分析：(1)可由已知条件，求出 a1,d,利用求解，亦可用Sn利用二次函数求最值；an 10(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：
10、(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d ,a17 a9a16a7a183a1736, a”12, d3,ana9(n9)g|d3n 63,an1 3n 60 ,17 921,an 3n 63 0 /口令 n，得：20 n20 60 ( 3)S20S21一2an 1 3n 60 0630,，当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.(2)由(1 )知前20项小于零，第21项等于0,以后各项均为正数。当 n 21 时，TnSnn( 60 3n 63) 3n2 磔n.222n( 60 3n 63)3 2 123当 n 21 时，Tn Sn 2S21201 - n 一 n 1260.222综上，Tn123n2123n21260(n 21)(n 21)R例1已知数列an是等差数列。(1)若 am n,an m(m n),求amn；(2)若 Sm n m(m n),求Sm n
