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1、福建省福州市天儒中学2021年高二数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A BC D参考答案：D2. 已知正方体ABCDABCD，点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（）A +B +C +D +参考答案：D【考点】空间向量的加减法【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用【分析】如图所示， =+， =， =+， =， =，代入化简即可得出【解答】解：如图所示， =+， =， =+， =， =，=+故选：D【
2、点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 离散型随机变量X的概率分布列如下：X1234P0.20.30.4c则c等于()A0.01 B0.24 C0.1 D0.76参考答案：C4. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ）A B C D参考答案：A5. 在直角坐标系中，直线的斜率是 （ ）A B C D参考答案：D略6. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面
3、积若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B7. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限参考答案：D【分析】根据复数的乘法运算，化简得复数，即可得到答案【详解】由题意，复数，所以复数对应的点位于第一象限，故选D【点睛】本题主要考查了复数乘法运算，以及复数的表示，其中熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8. 已知，则 ( )A. B. C. D. 参考答案：B略9. 通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k
4、4.892，参照附表，得到的正确结论是（）P（K2k）0.100.050.025k2.7063.8415.024A有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”参考答案：C【考点】独立性检验的基本思想【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论【解答】解：计算得到统计量值k2的观测值k4.8923.841，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%
5、的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”故选：C【点评】本题考查了通过计算得到统计量值k2的观测值k，对照数表估计概率结论的应用问题，是基础题目10. 已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为（）ABC或D或参考答案：D解：由于椭圆长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，若焦点在轴上，则，椭圆方程为，若焦点在轴上，则，椭圆方程为，椭圆的标准方程为或故选二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知P是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|17，则|PF2|的
6、值为_参考答案：33略12. 已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为 参考答案：13. 已知点（3，1）和（4，6）在直线的两侧，则的取值范围是 参考答案：；14. 在ABC中，三边a，b，c成等比数列，且b=2，B=，则SABC=参考答案：【考点】正弦定理【分析】利用等比数列的性质可求b2=ac，结合已知利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：a，b，c成等比数列，b2=ac，b=2，B=，SABC=acsinB=22=故答案为：15. 双曲线=1的渐近线方程是参考答案：y=2x【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程
7、【解答】解：双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=2x故答案为y=2x【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程属于基础题16. 大家知道：在平面几何中，的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心，并且重心分中线之比为21（从顶点到中点）据此，我们拓展到空间：把空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此四面体的重心类比上述命题，请写出四面体重心的一条性质：_参考答案：17. 曲线在点处的切线方程是 _。参考答案：x-y-2=0略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明
8、，证明过程或演算步骤18. 直线过轴上的点，交椭圆于两点，是坐标原点（I）若的坐标为，当时，求直线的方程； （II）若的坐标为，设直线的斜率为，是否存直线，使得垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求的取值范围；如果不存在，说明理由 参考答案：（1）令直线，不存在时，显然不成立；，得，由，得，即，韦达定理代入，得，直线；（2）令中点由得（1）（2），得，即又因为中点在直线上，所以由（1）（2）得，因为中点在椭圆内，所以，即，且略19. (本小题满分14分)已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1；（I）求椭圆的方程（）若是椭圆上的三个点，是坐标原点，当点B是椭圆
9、的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积（III）设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围参考答案：（1）由已知得，解得所以椭圆方程为：4分（2）四边形OABC为菱形,可得线段OB的垂直平分线为x=1, ，6分从而菱形OABC的面积为8分（3）由题意可知：=,=,10分设其中，将向量坐标代入并化简得：m（， 12分因为，所以，13分而，所以14分20. 已知复数z满足：|z|=1+3iz，（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；（2）求的共轭复数参考答案：【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A2：复数的基本概念【分析】（1）设z=
10、x+yi（x，yR），则|z|=代入已知，化简计算，根据复数相等的概念列出关于x，y的方程组，并解出x，y，可得z（2）将（1）求得的z代入，化简计算后，根据共轭复数 的概念求解【解答】解：（1）设z=x+yi（x，yR），则由已知， =1+3i（x+yi）=（1x）+（3y）i，z=4+3i其在复平面上对应的点的坐标为（4，3）（2）由（1）z=4+3i，=3+4i共轭复数为34i21. 某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n=1 700次观测，列联表如下：YX有震无震合计水位有变化1009001 000水位无变化806207 00合计18015201700问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生相关？P（X2x0）0.150.10.05x02.0722.7063.841参考答案：【考点】独立性检验的应用【分析】计算X2，对照数表即可得出结论【解答】解：由题意，X2=0.8872.072，观测结果不能说明地下水位的变化与地震的发生相关22. 已知椭圆离心率为为椭圆上一点.（1）求的方程；（2）已知斜率为，不过点的动直线交椭圆于两点.证明：直线的斜率和为定值.参考答案：解:（1）由题知,解得.即所求的方程为（2）,.联立方程组得.所以所以.即因为故.
