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1、湖南省湘潭市县第二中学高三数学文上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）ABC iDi参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数z，求出其共轭复数，则答案可求【解答】解：z=，复数z=的共轭复数的虚部为故选：A2. 已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为 ( )A25B50C100D不存在参考答案：A略3. 设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） 参考答案：D4
2、. （5分）（2015?陕西一模）在正四棱柱ABCDABCD中，AB=1，AA=2，则 AC与BC所成角的余弦值为（） A B C D 参考答案：【考点】： 空间中直线与直线之间的位置关系【专题】： 空间角【分析】： 连结AB，结合几何体的特征，直接求解 AC与BC所成角的余弦值即可解：如图：正四棱柱ABCDABCD中，AB=1，AA=2，连结AB，则 AC与BC所成角就是直角三角形ABC中的ACB，AC与BC所成角的余弦值为：=故选：C【点评】： 本题考查几何体的特征，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力5. 三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（ ）ABCD 参
3、考答案：A6. 已知正项的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A B C D 2参考答案：C7. （多选题）在ABC中，D在线段AB上，且若，则（ ）A. B. ABC的面积为8C. ABC的周长为D. ABC为钝角三角形参考答案：BCD【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A；设,则,在中,利用余弦定理求得,即可求得,进而求得,即可判断选项B；在中,利用余弦定理求得,进而判断选项C；由为最大边,利用余弦定理求得,即可判断选项D.【详解】因为,所以,故A错误；设,则,在中,解得,所以,所以,故B正确；因为,所以,在中,解得,所以,故C正确；因为为最大边,所以,即为钝角,所以AB
4、C为钝角三角形,故D正确.故选:BCD【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.8. 一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A. 1B. C. D. 参考答案：B【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为，故选B.【点睛】
5、本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题9. 假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：007：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：307：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）ABCD参考答案：D【考点】CF：几何概型【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示所求概率P=1=；故
6、选：D10. 下图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A B C. D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的极小值点为，则的图像上的点到直线的最短距离为 . 参考答案： 12. 已知知函数f（x）=，xR，则不等式f（x22x）f（3x4）的解集是参考答案：（1，2）考点： 其他不等式的解法专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可解答： 解：当x0时，f（x）=1，当x0时，f（x）=1，作出f（x）的图象，可得f（x）在（，0）
7、上递增，不等式f（x22x）f（3x4）即为或，即有或，解得x2或1x，即有1x2则解集为（1，2）故答案为：（1，2）点评： 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题13. 平面向量的夹角为60，13在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(bc)cos Aacos C，则cos A .参考答案：略14. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是_.参考答案：15. 若实数x，y满足条件，则的最大值为 参考答案：16. 已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_参考答案
8、：2417. 如果复数 (其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）求函数的解析式及其最小正周期；（2）当时，求函数的增区间.参考答案：利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简，；（2）， ，函数的增区间是19. 已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小参考答案：解答：解：（I）证
9、明：平面PAD平面ABCD，ABAD，AB平面PAD，（4分）E、F为PA、PB的中点，EFAB，EF平面PAD； （6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，平面PAD平面ABCD，则PO平面ABCD取AO中点M，连OG，EO，EM，EFABOG，OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EMOP，则EM平面ABCD且OGAO，故OGEOEOM 即为所求 （11分）在RTEOM中，EM=OM=1tanEOM=，故EOM=60平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60（14分）略20. 已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn 为其前n项和，且满足an2=S2n1，nN
10、*数列bn满足bn=，Tn为数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式和Tn；（2）是否存在正整数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由参考答案：考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等比关系的确定 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）（法一）在an2=S2n1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a1=1，d=2，可求通项，而bn=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n1）an，结合已知an2=S2n1，可求an，而bn=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（）由
11、（I）可求T1=，Tm=，Tn=，代入已知可得法一：由可得，0可求m的范围，结合mN且m1可求m，n法二：由可得，结合mN且m1可求m，n解答：解：（）（法一）在an2=S2n1，令n=1，n=2可得即a1=1，d=2an=2n1bn=（）=（1）=（法二）an是等差数列，=（2n1）an由an2=S2n1，得an2=（2n1）an，又an0，an=2n1bn=（）=（1）=（）T1=，Tm=，Tn=若T1，Tm，Tn，成等比数列，则即法一：由可得，0即2m2+4m+10mN且m1m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数法二：2m24m10mN且m1m=2，此
12、时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数点评：本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，裂项求和方法的应用，本题具有一定的综合性21. 如图，在交AC于 点D,现将（1）若点P为AB的中点，E为（2）当棱锥的体积最大时，求PA的长；参考答案：解：（1）证明：作得中点F，连接EF、FP 由已知得： 为等腰直角三角形， 所以.（2）设，则 令 则 单调递增极大值单调递减由上表易知：当时，有取最大值。略22. 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按00
13、1,002,003,800进行编号（）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）（）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a , b的值（）将a 10, b8的a , b表示成有序数对(a , b)，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对(a , b)的概率参考答案：（）依题意，最先检测的3个人的编号依次为（）由，得，因为，所以（）由题意，知，且故满足条件的有：，共14组
