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1、湖南省永州市马江乡中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在（0，2）上存在两个极值点，则a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）（，）D（e，）（1，+）参考答案：C【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由题意可知：f（x）=a（x1）ex+在（0，2）上有两个零点，a（x1）ex+=0，有两个根，即可求得a=，根据函数的单调性即可求得a的取值范围【解答】解：函数f（x）=a（x2）ex+lnx+在（0，2）上存在两个极值点，等价于f（x）=a（x1）ex+在（0，2）上有两个零点
2、，令f（x）=0，则a（x1）ex+=0，即（x1）（aex+）=0，x1=0或aex+=0，x=1满足条件，且aex+=0（其中x1且x（0，2）；a=，其中x（0，1）（1，2）；设t（x）=ex?x2，其中x（0，1）（1，2）；则t（x）=（x2+2x）ex0，函数t（x）是单调增函数，t（x）（0，e）（e，4e2），a（，）（，）故选C2. 全集U=R，则（ ）A. (1,2)B. (1,2C. 1,2)D. 1,2参考答案：A【分析】分别解出集合A和B，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】，故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.3. i
3、为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A0BiC2iDi参考答案：A【考点】A1：虚数单位i及其性质【分析】直接利用虚数单位i的性质运算【解答】解：由i2=1可知，i+i2+i3+i4=i1i+1=0故选：A4. 已知定义在R上的可导函数f(x)满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）A. (,2)B. (,1)C. (2,+)D. (1,+)参考答案：A【分析】构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【点睛】本小题主要考
4、查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5. 已知，若数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：B6. 如图，已知DE是正ABC的中位线，沿AD将ABC折成直二面角BADC，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）ABCD0参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出翻折后异面直线AB与DE所称的余弦值【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，设正ABC的边长为2，则A（0
5、，0，），B（1，0，0），D（0，0，0），E（0，），=（1，0，），=（0，），cos=，翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用7. 已知成等比数列, 且曲线的顶点坐标为, 则( )A6 B8 C9 D10参考答案：C8. 若函数与的图象关于直线对称，则(A). (B).(C). (D).参考答案：A略9. 设函数的导函数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是（ ）A B CD参考答案：D10. 函数是A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D. 周期为奇函数
6、参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与圆则圆上各点到距离的最大值为_;参考答案：12. 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_参考答案：913. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .参考答案：由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。14. 函数的反函数为,则 参考答案：415. 若向量、满足，且，则与的夹角的度数为 参考答案：答案： 解析：由，得，即，又故， 与的夹角的度数为16. 如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该
7、圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）参考答案：(1)；(2)本题考查几何概型，条件概率公式同时考查圆面积和正方形面积的计算，难度中等。（1）圆的面积为，圆内接正方形面积为所以。（2）扇形区域OHE的面积为，所以,，则,所以。17. 已知等差数列中，是方程的两根，则 参考答案：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值参考答案：证明：设ACBD=H,连结EH，在ADC中，
8、因为AD=CD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又E为P的中点，故EH/PA又EH平面BDEPA平面BDEPA/平面BDE证明：PD平面ABCDAC平面ABCD，所以PDAC由（1）知，BDAC，PDBD=DAC平面PBD解由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角。由ADCD，AD=CD=1，DB=2可得19. (本题满分14分)已知ABC的面积S满足S3，且6，与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值.参考答案：解：(1)由题意知：|cos6， S|sin()|sin， 得 tan，即3
9、tanS.由S3，得3tan3，即tan1.又为与的夹角，0，.(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin(2).，2，.当2，时，f()取最小值3.20. 已知函数(1)判断函数在上的单调性;(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.参考答案：若则,在上单调递增若,当时,函数在区间上单调递减,当时,函数在区间上单调递增若,则函数在区间上单调递减.(2),由(1)易知,当时,在上的最小值:即时,又,曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解.而,即方程无实数解,故不存在.21. 选修4-5：不等式选讲
10、（10分）（1）已知函数的定义域为，求实数a的取值范围；（2）若正实数，满足，求的取值范围参考答案：（1）由题意知恒成立.因为，所以，解得或. .5分（2）因为（，所以，即的取值范围为 .10分22. （本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概参考答案：（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，则4分（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， 5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人,分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，共15个. 9分其中使得事件成立的为，共4个 10分则.
