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1、山东省东营市胜利第六十中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出程序如下图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是()A3 B3C3或3 D0参考答案：C2. 已知向量，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是 ( ）A或 B或C D参考答案：B3. 一个几何体的三视图如下图（左）所示，则这个几何体的体积等于() A4 B6 C8 D12参考答案：A由三视图得几何体为四棱锥，如图记作SABCD，其中SA面ABCD，SA2，AB2，AD2，CD4，且ABCD为直角梯形DAB
2、90，VSA(ABCD)AD2(24)24.4. 函数在其定义域内有极值点，则实数a的取值范围是（ ）A B C D参考答案：D由题意，函数，则，令，因为函数在定义域内有极值点，所以在定义域内有解，即在定义域有解，即在定义域有解，设，则，所以函数为单调递增函数，所以，即，所以，故选D5. 在等差数列中，则等于（ ）A 19 B 50 C 100 D 120参考答案：C略6. 下列命题正确的是( ) A若，则B若，则C若，则 D若，则 参考答案：C7. 已知是等比数列，则=（*） A. B. C. D.参考答案：C略8. 直线l：x+y4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A相交B相切C相
3、离D无法确定参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题9. y=cos（xR）的最小正周期是（）AB2C3D6参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可【解答】解：y=cos（xR）函数f（x）的最小正周期T=；故选D10. 已知集合，,则=( )A. B. C. D. 参考答案：B
4、二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知0x6，则(6x)x的最大值是_参考答案：9略12. 设变量x、y满足约束条件且不等式x2y14恒成立，则实数a的取值范围是_ 参考答案：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a8，否则可行域无意义由图可知x2y在点(6，a6)处取得最大值2a6，由2a614得，a10，故13. 抛物线的焦点坐标是_ , w.w参考答案：14. 已知（x，y）满足，则k=的最大值等于 参考答案：1【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式【分析】由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（
5、1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=1故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破，是中档题15. 一个圆的圆心在直线上，且与x轴的正半轴相切，被y轴截得的弦长为，则该圆的标准方程为 参考答案： 16. 函数(2，6)的值域为 参考答案：17. 正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则正三棱台的侧面积为 参考答案：a2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【
6、专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】作出三棱台的直观图，还原成三棱锥，利用图中的相似及直角三角形关系求出棱台的侧棱，再求出侧面梯形的高即可算出答案【解答】解：作出三棱台的直观图，还原成三棱锥如图：取BC中点D，连接OD，OB，则BD=a，ODB=90，OBD=30OB=2ODOD2+BD2=OB2OB=SO=2SO=，SB=，BB=过B作BEBC于E，则BE=（BCBC）=BE=a即棱台侧面梯形的高为aS侧面积=（a+2a）?a?3=故答案为【点评】本题考查了棱台的结构特征，面积计算，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
7、步骤18. 在数列an中，a1=2，an+1=，n=1，2，3，（1）计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想an的通项公式；（2）用数字归纳法证明你的猜想参考答案：考点：数学归纳法；归纳推理 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据题设条件，可求a2，a3，a4的值，猜想an的通项公式（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明解答：解：（1）由已知可得，a2=，a3=，a4=猜想an=（2）证明：当n=1时，左边a1=2，右边=2，猜想成立假设当n=k（kN*）时猜想成立，即aK=则n=k+1时，ak+1=所以当n=k+1时，猜想也成立根据和，可知猜想对于任何kN*都成立点
8、评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点19. 某高校2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组160，165），第2组165，170），第3组170，175），第4组175，180），第5组180，185）得到的频率分布直方图如图所示（1）求第3、4、5组的频率并估计这次考试成绩的众数；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名
9、学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？参考答案：【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；众数、中位数、平均数【分析】（1）利用频率等于频数乘以组距得到各组的频率，根据众数是直方图中最高矩形的底边中点的坐标，求出众数的估计值（2）利用频数等于频率乘以样本容量得到，第3，4，5组共有60名学生，利用各组的人数与样本容量的比乘以60得到每组抽取的人数（3）列举出从六位同学中抽两位同学的所有的抽法，列举出第4组的2位同学为B1，B2，至少有一位同学入选的抽法，由古典概型的概率公式求出概率【解答】解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.065=0.3；第4组的频率为0.045
10、=0.2第5组的频率为0.025=0.1估计这次考试成绩的众数为167（2）第三组的人数为0.3100=30人；第四组的人数为0.2100=20人；第五组的人数为0.1100=10人；因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组抽30=3人； 第4组抽20=2人； 第5组抽10=1人； 所以第3，4，5组分别抽取出3人，2人和1人（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的两位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），
11、（A2，A3），（A2，B1）（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共15种可能其中第4组的2位同学为B1，B2，至少有一位同学入选的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1）（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种可能所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为20. （本小题12分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的
12、任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;参考答案：解:（1）因为,所以, 即.2分 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. 4分 (2) .当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, 6分 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立. 8分 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 12分21. 已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F，椭圆过（2，）且离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一
