高考数学回归课本教案第三章函数一、基础知识定义 1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射定义 2 单射，若f: AB是一个映射且对任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y) 则称之为单射定义 3 满射，若f: AB是映射且对任意yB，都有一个xA使得f(x)=y，则称f: AB是A到B上的满射定义 4 一一映射，若f: AB既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: AB定义 5 函数，映射f: AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数A称为它的定义域，若xA, yB，且f(x)=y（即x对应B中的y） ， 则y叫做x的象，x叫y的原象集合f(x)|xA叫函数的值域通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1 的定义域为x|x0,xR.定义 6 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x) ）是一一映射， 则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数， 通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x) 中反解x得x=f-1(y) ，然后将x, y互换得y=f-1(x) ，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y=x11的反函数是y=1-x1(x0).定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称定理 2 在定义域上为增 （减）函数的函数， 其反函数必为增 （减）函数定义 7 函数的性质1）单调性：设函数f(x) 在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2) ，则称f(x) 在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间2）奇偶性：设函数y=f(x) 的定义域为D，且 D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x) ，则称f(x) 是奇函数；若对任意的xD ，都有f(-x)=f(x) ，则称f(x) 是偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称3）周期性：对于函数f(x) ，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x) 总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x) 的最小正周期定义 8 如果实数ab，则数集 x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b） ，集合x|axb,xR记作闭区间 a,b ，集合 x|axb记作半开半闭区间（a,b ，集合 x|axa 记作开区间（a, + ） ，集合 x|xa 记作半开半闭区间（- ,a.定义 9 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象， 其中 D为f(x)的定义域。
通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0) ； （1）向右平移a个单位得到y=f(x-a) 的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象； （4）与函数y=f(-x) 的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称； （6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称； （7）与函数y=-f(x) 的图象关于x轴对称定理 3 复合函数y=fg(x) 的单调性，记住四个字： “同增异减”例如y=x21, u=2-x在（ - ,2 ）上是减函数，y=u1在（ 0，+）上是减函数，所以y=x21在（ - ,2 ）上是增函数注：复合函数单调性的判断方法为同增异减这里不做严格论证，求导之后是显然的二、方法与例题1数形结合法例 1 求方程 |x-1|=x1的正根的个数 .【解】 分别画出y=|x-1| 和y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根例 2 求函数f(x)=113632424xxxxx的最大值解】f(x)=222222)0()1()3()2(xxxx， 记点P(x, x-2) ，A（3，2） ，B（0，1） ，则f(x) 表示动点P到点A和B距离的差。
x y1 1因为 |PA|-|PA| |AB|=10) 12(322, 当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立所以f(x)m ax=.102. 函数性质的应用例 3 设x, yR，且满足1)1(1997) 1(1)1(1997)1(32yyxx，求x+y.【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t) 在（ -， +）上递增事实上，若a0，所以f(t)递增由题设f(x-1)=-1=f(1-y) ，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例 4 奇函数f(x)在定义域（ -1 ，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围解】因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1) ，由题设f(1-a)f(a2-1) 又f(x)在定义域（-1 ， 1） 上递减，所以 -11-aa2-11 ， 解得 0a1例 5 设f(x) 是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数， 对kZ, 用Ik表示区间 (2k-1, 2k+1 ，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式解】设xIk，则 2k-10 ，则由得n0，设f(t)=t(42t+1), 则f(t)在（ 0，+）上是增函数。
又f(m)=f(-n) ，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以x=.54) 若 m0同理有 m+n=0,x=54, 但与 m0矛盾综上，方程有唯一实数解x=.543. 配方法例 7 求函数y=x+12x的值域解】y=x+12x=212x+1+212x+1-1=21(12x+1)-1 21-1=-21.当x=-21时，y取最小值 -21，所以函数值域是-21，+） 4换元法例 8 求函数y=(x1+x1+2)(21x+1),x0,1的值域解】令x1+x1=u，因为x0,1，所以 2u2=2+221x4, 所以2u2, 所以22222u2，122u2，所以y=22u,u22+2，8 所以该函数值域为2+2，8 5判别式法例 9 求函数y=434322xxxx的值域解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1 时，式是关于x的方程有实根所以 =9(y+1)2-16(y-1)20，解得71y1.又当y=1 时，存在x=0 使解析式成立，所以函数值域为71，7 6关于反函数例 10 若函数y=f(x)定义域、值域均为 R， 且存在反函数 若f(x)在(- ,+ ) 上递增，求证：y=f-1(x) 在(- ,+ ) 上也是增函数。
证明】设x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2) ， 则x1=f(y1), x2=f(y2) ，若y1y2，则因为f(x) 在(- ,+ ) 上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2即y=f-1(x) 在(- ,+ )递增例 11 设函数f(x)=42314xx，解方程：f(x)=f-1(x).【解】首先f(x)定义域为（ - ，-32） -41，+） ；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1x20,所以f(x) 在（- ，-32）上递增， 同理f(x) 在-41，+）上递增在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0, 所以x,y-41，+）.若xy，设xy，则f(x)=yy也可得出矛盾所以x=y.即f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基础训练题1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY满足：对任意的xX，它在Y中的象f(x) 使得x+f(x) 为偶数，这样的映射有 _个。
2给定A=1，2，3 ，B=-1 ，0，1 和映射f：XY，若f为单射， 则f有_个； 若f为满射，则f有_个； 满足ff(x) =f(x) 的映射有 _个3若直线y=k(x-2) 与函数y=x2+2x图象相交于点（ -1 ，-1 ） ，则图象与直线一共有_个交点4函数y=f(x) 的值域为 94,83 ，则函数g(x)=f(x)+)(21xf的值域为 _5已知f(x)=11x，则函数g(x)=ff(x) 的值域为 _6已知f(x)=|x+a| ，当x3 时f(x) 为增函数，则a的取值范围是_7设y=f(x) 在定义域（21，2）内是增函数，则y=f(x2-1) 的单调递减区间为 _8若函数y= (x) 存在反函数y=-1(x) ，则y=-1(x) 的图象与y=-(-x) 的图象关于直线 _对称9函数f(x)满足xxf1=1-211xx，则f(x1)=_10. 函数y=11xx, x(1, + ) 的反函数是 _11求下列函数的值域： （1）y=12xx; (2)y=111xxxx; (3)y=x+21x; (4) y=.212xx12. 已知)(xfy定义在 R上，对任意xR, f(x)=f(x+2) ， 且f(x)是偶函数， 又当x2,3时，f(x)=x，则当x-2,0时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题1已知a0,21, f(x) 定义域是（ 0,1 ，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x) 的定义域为 _2设 0a1 时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值则f(x) 定义域为 _3映射f: a, b, c, d 1 ，2，3 满足10f(a) f(b) f(c)f(d)0，函数f(x) 定义域为 R，且f(x+a)=2)()(21xfxf，求证：f(x) 为周期函数11设关于x的方程 2x2-tx-2=0 的两根为，（） ，已知函数f(x)=142xtx, （1）求f( ) 、f( ) ； （2）求证：f(x)在 ， 上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：21212121xxxxfxxxxf0，a1,F(x) 是奇函数，则G(x)=F(x)2111xa是_（奇偶性） .3若xxF11=x，则下列等式中正确的有_. F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= xxF11；F(x-1)=F(x) ；F(F(x)=-x.4. 设函数f：RR满足f(0)=1 ，且对任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=_.5已知f(x)是定义在 R上的函数，f(1)=1 ，且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1 。
若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= _.6. 函数f(x)=3212xx的单调递增区间是_.7. 函数f(x)=221xxx的奇偶性是： _奇函数， _偶函数（填是，非） 8. 函数y=x+232xx的值域为 _.9设f(x)=3 ,21 2, 11xxx,对任意的aR，记 V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求 V(a) 的最小值10解方程组：xzzyyx2221.11（在实数范围内）11 设kN+, f: N+N+满足： （1）f(x)严格递增； （2） 对任意nN+, 有ff(n)=kn，求证：对任意nN+, 都有12kknf(n).21nk六、联赛二试水平训练题1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x0, f(x)=xfx1； （2）对所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2. 设f(x) 对一切x0 有定义，且满足： （）f(x) 在（0，+）是增函数； ( )任意x0, f(。